彈塑性力學(xué)-第4章 本構(gòu)方程

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1、第四章本構(gòu)方程第四章本構(gòu)方程在前面的章節(jié)中，已經(jīng)建立了變形體的平衡微分方程和幾何方程，分別是從靜力學(xué)方面和從幾何學(xué)方面考察了變形體的受力和變形。但是只有這些方程還不足以解決變形體內(nèi)的應(yīng)力和變形問題。對于變形體，未知變量包括6個(gè)應(yīng)力分量，6個(gè)應(yīng)變分量和3個(gè)位移分量，一共有15個(gè)未知函數(shù)，而平衡方程和幾何方程一共是9個(gè)，未知函數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程數(shù)。因此還必須研究物體的物理性質(zhì)，即應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。通常稱這種關(guān)系為變形體的本構(gòu)方程，或稱為物性方程。4.1彈性應(yīng)變能函數(shù)變形固體的平衡問題不僅需要運(yùn)動微分方程、應(yīng)變—位移方程(即變形幾何方程)還需要將應(yīng)變

2、分量和應(yīng)力張量分量聯(lián)系起來，方能給定物體的材料抵抗各種形式變形的規(guī)律。該規(guī)律的理論解釋需要對分子間力的本質(zhì)有深入的認(rèn)識，該分子力力圖使固體粒子間保持—定的距離，也就是需要對固體中應(yīng)力分量和應(yīng)變分量有深入的認(rèn)識。這種作用機(jī)理在非常接近穩(wěn)定狀態(tài)的氣體中己弄清楚，但對于彈性體情況，目前科學(xué)技術(shù)發(fā)展水平還不能解決這一難題。如要通過實(shí)驗(yàn)探求物體內(nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，則總是從一些量的測量來推理得到，在一般情況下，這些量并非應(yīng)力或應(yīng)變的分量(例如平均應(yīng)變、體積壓縮、物體表面一線元的伸長等等)．因此，在現(xiàn)時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系主要是通過直接實(shí)驗(yàn)建立。然而該關(guān)系中的某

3、些固有的一般特性可以在理淪上加以說朋，如能量守恒定律為應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的理論研究提供了基礎(chǔ)。1.1應(yīng)變能密度假設(shè)變形的過程是絕熱的，也就是在變形過程中系統(tǒng)沒有熱的損失，而且假設(shè)物體中任意無窮小單元改變其體積和形狀所消耗的功與其從未變形狀態(tài)到最終變形狀態(tài)的轉(zhuǎn)換方式無關(guān)。這個(gè)條件是彈性的另一種定義。換句話說，就是假設(shè)物體粒子互相作用過程中的耗散(非保守)力的作用與保守力的作用相比是可以忽略的。滿足這個(gè)假設(shè)的物體在卸載后一定回到其初始尺寸和形狀，也就是說該物體是理想彈性的。在上述條件下，使彈性體的未變形微元變形所需的功可表達(dá)為，即等于單元初始體積和6個(gè)應(yīng)

4、變分量的某個(gè)函數(shù)108第四章本構(gòu)方程的乘積。該函數(shù)稱為物體的應(yīng)變能函數(shù)或應(yīng)變能密度。它依賴于材料的物理特性，但與物體的形狀和尺寸無關(guān)。應(yīng)該注意到應(yīng)變能函數(shù)僅依賴于6個(gè)應(yīng)變分量，和剛體運(yùn)動無關(guān)。另一方面，應(yīng)變分量可以用三個(gè)主應(yīng)變分量()和對于應(yīng)變主軸()的方向余弦()來表示，而且由于主軸相互正交，并且()是單位矢量的分量，所以方向余弦可表示為三個(gè)獨(dú)立角度()的函數(shù)。這樣無窮小微無變形所需要的功為(4.1-1)從方程(4.1-1)可清楚地看出，使一體積元(就是說一平行六面體)變形所消耗的功不僅依賴于主應(yīng)變分量()的大小，而且依賴于受到()作用的體元纖

5、維的主方向(六面體各面的方向)。以上說明體元在不同方向?qū)ψ冃蔚捻憫?yīng)是不同的，當(dāng)一個(gè)物體呈現(xiàn)這種行為的性質(zhì)稱為各向異性，更完整地說，組成該物體的材料是各向異性的。它在不同方向呈現(xiàn)出不同性質(zhì)(對給定力的不同響應(yīng))。反之，如果材料在各方向的響應(yīng)都相同(對給定力)，則稱該材料(物體)為各向同性的。對在各個(gè)方向有相同性質(zhì)的物體使一體元變形所需的功不依賴于該單元的方向性(即不依賴于確定主方向位置的角度)，因此僅僅是是主應(yīng)變()的函數(shù)。這樣，對各向同性材料，(4.1-2)從第三章知，主應(yīng)變()也可以用應(yīng)變不變量()，故(4.1-2)式也可寫為(4.1-3)對一

6、般變形理論，方程(4.1-3)比方程(4.1-2)更適用，然而對于小位移理論，方程(4.1-2)的形式是有用的，因?yàn)?)具有簡單的物理意義。由方程(4.1-3)，整個(gè)物體變形消耗的功為(4.1-4)函數(shù)以及方程(4.1-1)和(5.1-2)中的函數(shù)稱為應(yīng)變能函數(shù)，或稱應(yīng)變能密度，它表示相對于不變形狀態(tài)物體單位體積的變形能。1.2應(yīng)力分量與應(yīng)變能密度函數(shù)的關(guān)系對于處于彈性小變形的物體，即處于小應(yīng)變狀態(tài)的物體，設(shè)物體的閉合表面為，被所包圍的體積為，假設(shè)物體處于變形的平衡狀態(tài)(包括物體處于變形過程中)，可以證明所得到的應(yīng)力分量與應(yīng)變能密度函數(shù)之間的關(guān)系

7、保持不變。設(shè)表示變形過程中外力作用于體積上的功，表示由變形所引起的體積內(nèi)能的變化或變分。如果變形是絕熱的，則由能量守恒定律導(dǎo)出。因此有，其中是彈性變形能函數(shù)，因此有108第四章本構(gòu)方程，(a)功是作用于體積的體力功，和作用于表面的面力功之和。由應(yīng)力狀態(tài)理論知，功為(b)式中和分別是在坐標(biāo)方向的位移矢量和相應(yīng)于體積的體力分量。類似地，根據(jù)應(yīng)力邊界條件可得面力功為(c)根據(jù)散度定理，該面積分可轉(zhuǎn)換為體積分(d)根據(jù)變分與微分符號可以互換，并注意，則由(a)、(b)、(c)、(d)式可得(e)因?yàn)榉匠?e)反映了固體變形的絕熱過程，所以由該式可得(f)

8、在絕熱情況下，方程(f)右端的表達(dá)式就是應(yīng)變的微分，并且存在一函數(shù)，具有由下列關(guān)系所表達(dá)的性質(zhì)(4.1-5a)由該式可得(4.1-5b)