微積分的產(chǎn)生與發(fā)展

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1、微積分的產(chǎn)生與應(yīng)用一、微積分產(chǎn)生背景在十六世紀(jì)末、十七世紀(jì)初的歐洲，文藝復(fù)興帶來了人們思維方式的改變．資本主義制度的產(chǎn)生，使社會(huì)生產(chǎn)力大大得到解放．資本主義工廠手工業(yè)的繁榮和向機(jī)器生產(chǎn)的過渡，促使技術(shù)科學(xué)和數(shù)學(xué)急速向前發(fā)展．在科學(xué)史上，這一時(shí)期出現(xiàn)了許多重大的事件，向數(shù)學(xué)提出了新的課題．公元1492年，哥倫布發(fā)現(xiàn)了新大陸，證實(shí)了大地是球形的觀念；1543年，哥白尼發(fā)表了《天體運(yùn)行論》，使神學(xué)的重要理論支柱的地心說發(fā)生了根本的動(dòng)搖；開普勒在1609～1619年，總結(jié)出行星運(yùn)動(dòng)的三大定律，導(dǎo)致后來牛頓萬有引力的發(fā)現(xiàn)；1609年伽里略用自制的望遠(yuǎn)鏡

2、觀察了月亮、金星、木星等星球，把人們的視野引向新的境界．這些科學(xué)實(shí)踐拓展了人們對世界的認(rèn)識，引起了人類思想上的質(zhì)變．十六世紀(jì)對數(shù)學(xué)的研究從常量開始進(jìn)入了變量的領(lǐng)域．這成為數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也是“變量”數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個(gè)決定性步驟．由于“變量”作為新的問題進(jìn)入了數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)的研究方法也就提出了新的要求．在十七世紀(jì)前半葉，解析幾何的觀念已經(jīng)有一系列優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家接近了．但是十七世紀(jì)三十年代，解析幾何才被笛卡爾(Descartes，R．(法)1596～1650)和費(fèi)爾馬(Fermat，P．de(法)1601～1665)創(chuàng)立．在解析幾何里，由于建

3、立了坐標(biāo)系，可以用字母表示變動(dòng)的坐標(biāo)，用代數(shù)方程刻畫一般平面曲線，用代數(shù)運(yùn)算代替幾何量的邏輯推導(dǎo)，從而把對幾何圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為對解析式的研究，使數(shù)與形緊密地結(jié)合起來了．這種新的數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)與發(fā)展，使數(shù)學(xué)的思想和方法的發(fā)展發(fā)生了質(zhì)的變化，恩格斯把它稱為數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)．此后人類進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)階段，也是變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個(gè)決定性步驟．為十七世紀(jì)下半葉微積分算法的出現(xiàn)準(zhǔn)備了條件。二、微積分的產(chǎn)生過程微積分是經(jīng)過長時(shí)間的醞釀才產(chǎn)生的．微積分的原理可以追溯到古代．在中國，公元前4世紀(jì)的桓團(tuán)、公孫龍等所提出的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”；公元3世紀(jì)

4、的劉徽，公元5～6世紀(jì)的祖沖之、祖暅對圓周率、面積以及體積的研究，都包含有極限和微積分的思想萌芽．在歐洲，公元前3世紀(jì)古希臘的歐幾里得(Euclid)、阿基米得(Archimedes約公元前287～212)所建立的確定面積和體積的方法，也都包含有上述萌芽．在十六世紀(jì)末、十七世紀(jì)初，由于受力學(xué)問題的研究、函數(shù)概念的產(chǎn)生和幾何問題可以用代數(shù)方法來解決的影響，促使許多數(shù)學(xué)家去探索微積分．開普勒(Kepler．J．(德)1571～1630)、卡瓦列里(Cavalieri，F(xiàn)．B．(意)1598～1647)和牛頓的老師巴羅(Barrow，I．(英)16

5、30～1677)等人也研究過這些問題，但是沒有形成理論和普遍適用的方法．1638年，費(fèi)爾馬首次引用字母表示無限小量，并運(yùn)用它來解決極值問題．稍后，他又提出了一個(gè)與現(xiàn)代求導(dǎo)過程實(shí)質(zhì)相同的求切線的方法，并用這種方法解決了一些切線問題和極值問題．后來，英格蘭學(xué)派的格雷果里(Gregory，J(英)1638～1675)、瓦里斯(Wallis，J．(英)1616～1703)繼續(xù)費(fèi)爾馬的工作，用符號“0”表示無限小量，并用它進(jìn)行求切線的運(yùn)算．到十七世紀(jì)早期，他們已經(jīng)建立起一系列求解無限小問題的特殊方法．諸如，求曲線的切線、曲率、極大極小值，求運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速

6、度以及面積、體積、曲線長度、物體重心的計(jì)算等．但他們的工作差不多都局限于一些具體問題的細(xì)節(jié)之中，還缺乏普遍性的規(guī)律．到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。　三、古代至中世紀(jì)的有關(guān)研究工作早在古代數(shù)學(xué)中，就產(chǎn)生了微分和積分這兩個(gè)概念的思

7、想萌芽，形成兩種基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算。兩者分別地被人們加以研究和發(fā)展。歷史上，積分思想先于微分思想出現(xiàn)，而不象今天的《數(shù)學(xué)分析》所講授的那樣，先微分后積分。積分思想出現(xiàn)在求面積、體積等問題中，在古中國、古希臘、古巴比倫、古埃及的早期數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中都有涉及這類問題的思想和方法。如：古希臘的阿基米德（公元前287―212）用邊數(shù)越來越多的正多邊形去逼近圓的面積，稱為“窮竭法”。中國魏晉時(shí)代的劉徽在其《九章算術(shù)注》（公元263年）中，對于計(jì)算圓面積提出了著名的“割圓術(shù)”，他解釋說：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣。”這些

8、都是原始的積分思想。又如，中國清代著名數(shù)學(xué)家李善蘭獨(dú)創(chuàng)的“尖錐術(shù)”，已使中國步入了微積分的大門。但還未形成多大影響時(shí)，西方的微積分就傳入了中國。16世紀(jì)以后，歐洲數(shù)