第四節(jié) 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)

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1、§4.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)一、教學(xué)目標(biāo)或要求：掌握解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系熟練計算二、教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)）：基本內(nèi)容：解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系例題重點(diǎn)：解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系難點(diǎn):例題三、教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí)四、思考題、討論題、作業(yè)與練習(xí)：16、17、18§4.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)　在前一節(jié)，我們已經(jīng)證明了，在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)具有任何階的導(dǎo)數(shù)。因此，在區(qū)域D內(nèi)它的實(shí)部與虛部都有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?，F(xiàn)在我們來研究應(yīng)該如何選擇才能使函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析。設(shè)在區(qū)域D上解析，則C--R條件成立　　　　　　　　　　　　　　，.下一章將證明，某個區(qū)域上的解析函數(shù)在該

2、區(qū)域上必有任意階的導(dǎo)數(shù)，因此可對上式求偏導(dǎo)數(shù)　　　　　　　　　　　　　,兩式相加可得　　　　　　　　　　　　　　同理可得　　　　　　　　　　　　　　定義3.5若二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足拉普拉斯方程，則稱為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。記，則為運(yùn)算符號，稱為拉普拉斯算子。定義3.6在區(qū)域D內(nèi)滿足C.—R.條件，的兩個調(diào)和函數(shù)中,中，稱為的軛調(diào)和函數(shù).共軛調(diào)和函數(shù)的幾何意義　　設(shè)是區(qū)域D上的解析函數(shù)，則　　　　　　　　　　　，兩式相乘得　　　　　　　　　　　　　即　　　　　　　　　　　　　所以　　　　　　　　　　就是說，梯度跟梯度正交.我們知道，和分別是曲線族“”和“”

3、的法向矢量，因而上式表示“”與“”兩族曲線相互正交.這就解析函數(shù)實(shí)部與虛部的幾何意義。定理3.18若在區(qū)域D內(nèi)解析，則在區(qū)域D內(nèi)必為的軛調(diào)和函數(shù).證由在內(nèi)解析知，，從而。又解析函數(shù)具有的無窮可微性保證，在內(nèi)均連續(xù)，故必相等，于是在內(nèi)?！⊥恚?，滿足拉普拉斯方程。定理3.19設(shè)若是在單連通區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，則存在由（3.22）式所確定的函數(shù)，使在區(qū)域D內(nèi)解析.解析函數(shù)的又一等價定理在區(qū)域D內(nèi)解析當(dāng)且僅當(dāng)在區(qū)域D內(nèi)是的共軛調(diào)和函數(shù)。函數(shù)在區(qū)域內(nèi)為解析函數(shù)的充分必要條件是為的共軛調(diào)和函數(shù)。從已知解析函數(shù)的實(shí)(虛)部求它的虛(實(shí))部的方法。1.線積方法定理3.19設(shè)是在單連

4、通區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，則存在　　　　　　　，使是內(nèi)的解析函數(shù)。（其中是內(nèi)定點(diǎn),是內(nèi)動點(diǎn),為任意常數(shù)，積分與路徑無關(guān)）證要使成為解析函數(shù),則必須滿足條件　　　　　　(條件),又,故，又在單連通區(qū)域可微，故積分與路徑無關(guān)，從而2.條件由，兩邊對求積分,兩邊同時求的偏導(dǎo)，由條件兩邊對求積分求得的表達(dá)式,從而3.觀察法例驗證是平面上的調(diào)和函數(shù),并求出以為實(shí)部的解析函數(shù),使。解　(1)　故　(2)方法一　　　故　　　　又故，從而。　方法二?　由于，故　于是,從而，　于是，即?！」?，以下同方法一（略）。方法三?　　由于　　　　　　　故。余下（略）。例驗證在右半平面內(nèi)是調(diào)和函數(shù),并求以

5、此為虛部的解析函數(shù)。解（1）　　　　　　　　　　　　　故即在右半平面內(nèi)是調(diào)和函數(shù)?！。?）由得　　　　　　　又,故,于是，故　從而　　　在右半平面單值解析。例設(shè)，試求以為實(shí)部的解析函數(shù)，使得．解依C.—R.條件有于是由此得從而有因此（為任意常數(shù)）故得將代入上式，得由此得，故得經(jīng)驗證，所得既為所求。本章內(nèi)容課后討論1．?何謂復(fù)變函數(shù)的圍道積分？它與二元實(shí)線積分有何關(guān)系？2．?設(shè)l是z平面上以A為起點(diǎn)B為終點(diǎn)的光滑曲線，試問與的幾何意義有何不同?不等式說明了什么幾何性質(zhì)?3．?計算復(fù)變函數(shù)的積分有哪幾種方法?4．?復(fù)變函數(shù)的基本性質(zhì)是什么?5．?若,能否說f(z)在l內(nèi)必解

6、析?試舉例說明.6．?對于什么樣的閉曲線l,有7．到此,我們能計算哪些復(fù)變函數(shù)的圍道積分?總結(jié)一下計算這些復(fù)變函數(shù)圍道積分的公式?8．?何謂原函數(shù)?如何計算解析函數(shù)的積分?9．以下二論斷是否均正確?試舉例說明.??(1)對于復(fù)變函數(shù)f(z)而言，若(z)存在,則f(n)(z)亦存在.??(2)對于實(shí)變函數(shù)f(x)而言，若(x)存在，則f(n)(x)亦存在.10．解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否仍為解析函數(shù)？11．以下論斷是否正確？為什么？若在曲線l上連續(xù)，則積分定義一一個不在l上的解析函數(shù)，且12.若f（z）在區(qū)域內(nèi)解析，在閉區(qū)域上連續(xù)，試證明在內(nèi)有Cauchy不等式成立，其中M為的

7、上界，s為l的全長，d和z離邊界上最近的一點(diǎn)的距離。13．Liouville定理實(shí)際指出：“在整個復(fù)平面可微且有界的復(fù)變函數(shù)必是常數(shù)”。由此我們是否可推斷：“在整個數(shù)軸??（）上可微且有界的實(shí)函數(shù)一定是常數(shù)”？試舉例說明。14．如何從Cauchy積分公式來理解解析函數(shù)其值之間的內(nèi)在聯(lián)系？