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《解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、§4.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)一、教學(xué)目標(biāo)或要求：掌握解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系熟練計(jì)算二、教學(xué)內(nèi)容(包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn))：基本內(nèi)容：解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系例題重點(diǎn)：解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系難點(diǎn)：例題三、教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí)四、思考題、討論題、作業(yè)與練習(xí)：16、17、18§4.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)在前一節(jié)，我們已經(jīng)證明了，在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)具有任何階的導(dǎo)數(shù)。因此,在區(qū)域D內(nèi)它的實(shí)部與虛部都冇二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?，F(xiàn)在我們來(lái)研究應(yīng)該如何選擇才能使函數(shù)/⑵九+小在區(qū)域D內(nèi)解析。設(shè)/(z)二比+“在區(qū)域d上解析，則C—R條件成立du_dvdxdydxdy下一
2、章將證明，某個(gè)區(qū)域上的解析函數(shù)在該區(qū)域上必有任意階的導(dǎo)數(shù)，因此可對(duì)上式求偏導(dǎo)數(shù)d2u__d2v滬_麗’3y2兩式相加可得d2ud2un—+r=0舐2dy2同理可得a2va2v定義3.5若二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域二內(nèi)冇二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿(mǎn)足拉普拉斯方則稱(chēng)Hg為區(qū)域二內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。記則丄為運(yùn)算符號(hào)，稱(chēng)為拉普拉斯算了。定義3.6在區(qū)域D內(nèi)滿(mǎn)足C.—R.條件du_dvdu_dvdxdydydx的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)中/心，y),v(x,y)中,v(x,y)稱(chēng)為比(兀,y)的軌調(diào)和函數(shù).共軌調(diào)和函數(shù)的幾何意義設(shè)/(?)二班兀刃+IV(X?7)是區(qū)域d上的解析函數(shù)，則duScdyd
3、udx3dxdydu3弧S—?—+—?—=0dxdxdydy兩式相乘得即所以w-（更7+更7）?（空7+空7）dx另dx0=—-—+—?—=dxdxdydy就是說(shuō)，梯度dxdy正交.我們知道，也和E分別是曲線(xiàn)族“心刃=常數(shù)”和"(2)=常數(shù)”的法向矢量,因而上式表示5(XJ)=常數(shù)”與“吩丁)=常數(shù)”兩族曲線(xiàn)相互正交.這就解析函數(shù)實(shí)部《(兀，y)與虛部uO,y)的幾何意義。定理3.18若f(z)=u(x,y)4-iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則在區(qū)域D內(nèi)v(x,y)必為譏兀，刃的轆調(diào)和函數(shù).證由/何在三內(nèi)解析知，％?勺，吟,從而。又解析函數(shù)具有的無(wú)窮可
4、微性保證吟，卞在二內(nèi)均連續(xù)，故必相等，于是在二內(nèi)+Vo同理牛％即二，、匚滿(mǎn)足拉普拉斯方程。定理3.19設(shè)若譏兀，刃是在單連通區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，則存在由(3.22)式所確定的函數(shù)v(x,y),使/(z)=w(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析.解析函數(shù)的又一等價(jià)定理f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析當(dāng)且僅當(dāng)在區(qū)域D內(nèi)v(x,y)是u(x,y)的共饑調(diào)和函數(shù)。函數(shù)于(z)在區(qū)域D內(nèi)為解析函數(shù)的充分必要條件是Tm[/(z)]為Re[.f(z)]的共轆調(diào)和函數(shù)。從已知解析函數(shù)的實(shí)(虛)部求它的虛(實(shí))部的方法。1?線(xiàn)積方法定理3.19設(shè)
5、召刃是在單連通區(qū)域二內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，則存在咻刃T；；嚴(yán)嚴(yán)叫妙址使是二內(nèi)的解析函數(shù)。(其中(辛6＞是二內(nèi)定點(diǎn)，⑴刃是二內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，芒為任意常數(shù)，積分與路徑無(wú)關(guān))證要使世4■加成為解析函數(shù)，則必須滿(mǎn)足條件%■叫吟?F(CJ?條件)，又故亦又％”在單連通區(qū)域二可微，故積分與路徑無(wú)關(guān)，從而々J)■丄二(3血“嚴(yán)22.CR條件由弓■叫，兩邊對(duì)匸求積分=>■軌3”冷）,兩邊同時(shí)求蘭的偏導(dǎo)=>片■期耐力4卩1W,曲CLR條件牛h幻■"（（磊（丄刃"?］兩邊對(duì)工求積分求得go的表達(dá)式，從Ifu=>吒2）■掙a』”?
6、并求出以吩>刃為實(shí)部的解析函數(shù)弘），使/?解⑴叫?31環(huán)宀亠(2)方法一?篇E嚴(yán)WC-^6jpA+(3?-3A*r*(7■『皿叮"-矽1SC-3?jr-/+C故/(z)-tt+iv■d_3亍~^^C)~(x+iyf^ic~^+ic又/TO-i故;=1,從而/?-^+io方法二由于"■咎■3』-^故v-3^jr-y+ff(x)于是”6W1????6p,從而材e?Q,于是貳0?鑑，即故/倒?*加?蘭也，以下同方法一（略）。方法三由于故心力■對(duì)余下（略）。咻0■cvcft—（X>0）例驗(yàn)證實(shí)在右半平面內(nèi)是調(diào)和函數(shù),并求以此為虛部的解析函數(shù)*）。解（1）2卩故
7、h分即丁在右半平面內(nèi)是調(diào)和函數(shù)。it■——――—★~v■———又72F2M八尸，故bS?o,于是vox,故從而fr>Q)/(x)■丄HaKtg—2jc■ln
8、N
9、*iag富亠/?hi富在右半平面單值解析。例設(shè)i心，y)=P_2兀y-)“，試求以譏心刃為實(shí)部的解析函數(shù)/(z)=w(x,y)+iv(x,y),使得/(0)=i?解依C?一R?條件有vv=ux=2x-2y于是v=J(2x-2y)dy-2xy-y2+(p{x)由此得vx=2y+(px)=-uv=2x+2y從而有(p{x)=x2+c因此v(x,y)=2xy-y2+x2+c(c為任意常數(shù))故得f(
10、z)=x2-2xy-y2+i(2xy-y2+x2+c)=(l+i)z2+ic將/(0)=i代入
