2-2調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)

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1、§2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系2.2.1調(diào)和函數(shù)的定義2.2.2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系2.2.3由調(diào)和函數(shù)構(gòu)造解析函數(shù)2.2.4小結(jié)與思考12.2.1調(diào)和函數(shù)的概念定義2.3如果二元實(shí)函數(shù)H(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足拉普拉斯方程，即：則稱H(x,y)為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。注：稱為Laplace算子例如：f(x,y)=x2-2xy2不是一個(gè)調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實(shí)際問題中有很重要的應(yīng)用.2設(shè)f(z)=u+iv在區(qū)域D內(nèi)解析,則由C.-R.條件得同例,在D內(nèi)有即u及v都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)2.2.2解析函數(shù)與調(diào)和函

2、數(shù)的關(guān)系3v稱為u在區(qū)域D內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù).定理：設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+v(x,y)∈A(D)u(x,y),v(x,y)都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)例如:設(shè)f(z)=x-iy,則u(x,y),v(x,y)都是z平面上的調(diào)和函數(shù),但f(z)=x-iy在z平面上處處不解析原因:u(x,y),v(x,y)在D內(nèi)不滿足C-R條件定義2.4u(x,y),v(x,y)是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且滿足C.-R.條件：4定理2.4若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：在區(qū)域D內(nèi)f(z)的虛部v(x,y)必為u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).根據(jù)

3、這個(gè)定理，便可利用一個(gè)調(diào)合函數(shù)和它的共軛調(diào)和函數(shù)作出一個(gè)解析函數(shù)。由于共軛調(diào)和函數(shù)的這種關(guān)系,如果知道其中的一個(gè),則可根據(jù)C-R條件求出另一個(gè)來。5例2.6驗(yàn)證u(x,y)=x3—3xy2是z平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以u(x,y)為實(shí)部的解析函數(shù)f(z),使合f(0)=i.解：要求f(z)，需先求v(x,y),一般可用以下方法求v(x,y)67例2.7解89利用曲線積分求共軛調(diào)和函數(shù)的方法.10解:容易驗(yàn)證是u全平面的調(diào)和函數(shù)。利用C-R條件，先求出v的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)。112.2.4小結(jié)與思考本節(jié)我們學(xué)習(xí)了調(diào)和函數(shù)的概念、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系以

4、及共軛調(diào)和函數(shù)的概念.應(yīng)注意的是:1.任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u與v所構(gòu)成的函數(shù)u+iv不一定是解析函數(shù).2.滿足柯西—黎曼方程ux=vy,vx=–uy,的v稱為u的共軛調(diào)和函數(shù),u與v注意的是地位不能顛倒.放映結(jié)束，按Esc退出.12