離散型隨機變量的數(shù)字特征課堂筆記

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1、復習：1、離散型隨機變量的概率分布律2、離散型隨機變量概率分布律滿足：（1）pi≥0,i=1,2,???+∞+pi=13、求離散型隨機變量概率分布律的步驟：（1）確定隨機變量的所有可能的值xi（2）求出各取值的概率P(X=xi)=pi（3）列出表格Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…121ipp=+???=∑（2）§2.1離散型隨機變量的數(shù)字特征前面討論了離散型隨機變量的概率分布，它完整地描述了隨機變量的概率性質，而數(shù)字特征則是由概率分布所決定的常數(shù)，它刻劃了隨機變量的某一方面的性質。在這些數(shù)字特征中，最常用的是期望和方差這一節(jié)主要介紹離散型隨機變量的

2、數(shù)學期望和方差.引例有甲、乙兩射手，他們的射擊技術如下表：甲：擊中環(huán)數(shù)8910頻率30%10%60%乙：擊中環(huán)數(shù)頻率8920%50%1030%問哪一個射手水平較高？問題：平均值可以怎樣算？1.已知有n個數(shù)x1,x2,?xn，則算術平均n2.如果這n個數(shù)據(jù)中的不同數(shù)據(jù)有k個且每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)分別是n1,n2,?nk則有kkni=1i=1nink=∑xifii=1加權平均1n∑=i1xi1引例解甲：乙：8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3,8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1,可見甲的水平高些。如果已知離散型隨機

3、變量X的概率分布，如何求X的平均值？頻率穩(wěn)定值概率kx=∑xifii=1k頻率替換為概率+∞x=∑xipi或x=∑xipii=1i=1Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…一、數(shù)學期望的定義定義2.5設離型隨機變量X的概率分布為P{X=xi}=pi，i=1,2,?∞若級數(shù)∑xipi絕對收斂，則稱之為X的數(shù)學期望或均值，記為E(X)，即∞E(X)=∑xipii=1例2.10見教材P53.表2-4例2.11見教材P54.例5例2.12如果X的概率分布列如下XP-10.310.430.31)判斷Y=2X+1,Z2）寫出其概率分布3）求各自的數(shù)學

4、期望2=X是否為離散型隨機變量二、數(shù)學期望的性質定理2.1設X是一隨機變量，g(.)是一實值函數(shù)，g(X)也為隨機變量。定理2.2設X是一隨機變量，分布列為pi=P(X=xi)(i=1,2,…)g(X)E[g(X)]=∑g(xi)pii=1性質2.1E(kX+c)=kE(X)+c1.E(c)=c（數(shù)學期望具有線性性質）2.E(X+c)=E(X)+c3.E(kX)=kE(X)如果g(X)的數(shù)學期望+∞存在，則g(X)的數(shù)學期望為性質2.2推廣情形E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X1+X2+?+Xn)=E(X1)+E(X2)+?+E(Xn)期望值

5、是代表隨機變量取值的集中程度的“數(shù)量指標”，反應了隨機變量的平均值，但數(shù)學期望畢竟只能反映平均值，有很大的局限性。在某些場合，僅僅知道平均值是不夠的。以手表的日走時誤差為例：如果有甲乙兩種牌號的手表，它們的日走時誤差分別為X1和X2，各具有如下的分布列：?X1?101??pk0.10.80.1??E(X1)=0??X2?2?1012??E(X2)=0?pk0.10.20.40.20.1?問題：如何判斷兩種手表的優(yōu)劣？????是否可以用一個指標來衡量一個隨機變量離開它的期望值E(X)的偏離程度？如果X是要討論的隨機變量，E(X)是它的數(shù)學期望，這時

6、X?E

7、(X)

8、就衡量了隨機變量X和它的期望值E(X)之間偏差的大小。但是絕對值運算有許多不便之處，人們便用[X?E(X)]2去衡量這個偏差。但是[X?E(X)]2是一個隨機變量，應該用它的平均值，即用2這個數(shù)值來衡量X離開它的平均值E(X)的偏離程度，為此，引入下述定義三、方差的定義定義2.6設離散型隨機變量X的概率分布為P{X=xi}=pi，i=1,2,?∞若級數(shù)∑(xi?E(X))2pi收斂，則稱之為X的方差，記為D(X)，即∞i=122D(X)=∑(xi?E(X))pi=E(X?E(X))例2.13見教材P63.例3例2.14見教材P6

9、4.例4定理2.3設X是一隨機變量，分布列為pi=P(X=xi)如果其方差存在，則其方差為22例2.15見教材P65.例7(i=1,2,…)四、方差的性質性質2.321.D(c)=02.D(X+c)=02)()(XDkckXD=+（方差不具有線性性質）)()(.3XDkkXD=例2.16見教材P83.例11，例13作業(yè)：P84,2.05;P85,2.08