《彈塑性力學(xué)》第四章 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)方程）

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1、§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系第四章應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)方程）§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系§4-3各向同性材料彈性常數(shù)8/14/20211本章討論彈性力學(xué)的第三個基本規(guī)律。應(yīng)力、應(yīng)變之關(guān)系，這是變形體力學(xué)研究問題基礎(chǔ)之一。在前面第二、三章分別討論了變形體的平衡規(guī)律和幾何規(guī)律（包括協(xié)調(diào)條件）。?ji,j+fi=0?ij=(ui,j+uj,i)/2第四章應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)方程）8/14/20212共9個方程，但需確定的未知函數(shù)共15個：ui，?ij=?ji，?ij=?ji，?ij=?ji=fij(?kl)第四章應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)方程）還需要根據(jù)材料的物理

2、性質(zhì)來建立應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系：8/14/20213§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系1.1應(yīng)變能U和應(yīng)變能密度W（比能）如果彈性體的外力的施加是緩慢進行的，物體無動能，物體發(fā)生變形，產(chǎn)生變形能，也無熱能耗散，則根據(jù)能量守恒，外力實功轉(zhuǎn)化成應(yīng)變能貯存在彈性體中。8/14/20214§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系外力做實功A：A=U物體的應(yīng)變能UW：應(yīng)變能密度——單位體積的應(yīng)變能。8/14/20215§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系1.2應(yīng)變能密度W與材料的本構(gòu)關(guān)系當(dāng)外載，緩慢施加過程中，考察外力施加過程中，瞬時外力功增量變

3、化。x2x1x3oFf8/14/20216§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系在某一時刻t：產(chǎn)生應(yīng)變能密度W的表達(dá)式？8/14/20217§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系時刻達(dá)到t+?t：位移有增量應(yīng)變增量外力功增量：8/14/20218§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系?：函數(shù)增量應(yīng)變能增量?A中有體積分和面積分，利用柯西公式和散度定理將面積分換成體積分。8/14/20219§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系代入外力功增量8/14/202110——W為?ij的函數(shù)。§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系8

4、/14/202111因為W只取決于彈性體的初始應(yīng)變狀態(tài)和最終應(yīng)變狀態(tài)，與變形過程（加載路線）無關(guān)，所以?W為它的全微分§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系8/14/202112比較上面二式，得：——本構(gòu)關(guān)系（方程）適用于各種彈性情況（線性、非線性）§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系8/14/202113由積分得——應(yīng)變能密度定義式?！?-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系8/14/202114§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系應(yīng)變能密度定義式一些書上寫為?ij?ij?ijd?ijdWW?ij8/14/202115§4-2線

5、彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.1各向異性材料在線彈性體應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榫€性關(guān)系，材料均勻和小變形情況,以及當(dāng)?ij=0時?ij=0。用指標(biāo)符號表示：?ij=Eijkl?klEijkl共有81個元素（四階張量常數(shù)）。由于?ij=?ji，?kl=?lk8/14/202116§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系{?}=[c]{?}Eijkl減少為6?6=36個獨立系數(shù)，用矩陣表示本構(gòu)關(guān)系2.1各向異性材料8/14/202117§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系{?}=[c]{?}2.1各向異性材料8/14/202118§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系根據(jù)，得則[C]為對稱矩陣[C]=[C]T。2.1各向異

6、性材料8/14/202119§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.1各向異性材料*對各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系可見，剪應(yīng)變引起正應(yīng)力，正應(yīng)變也產(chǎn)生剪應(yīng)力。彈性材料性質(zhì)一般都具有某些對稱性，利用對稱可進一步簡化[C]中系數(shù)。Eijkl的獨立系數(shù)為21個——材料為各向異性線彈性材料。8/14/202120§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.2具有一個彈性對稱面的材料x2x1x3彈性主軸若物體內(nèi)各點都有這樣一個平面，對此平面對稱方向其彈性性質(zhì)相同，則稱此平面為彈性對稱面，垂直彈性對稱面的方向稱為彈性主軸。8/14/202121§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系如取彈性對稱面為x1—x2面，x3

7、為彈性主軸或材料主軸，并取另一坐標(biāo)系x’i，且x’1=x1，x’2=x2，x’3=-x3。在兩個坐標(biāo)下，彈性關(guān)系保持不變，則[C]中元素減少為13個獨立系數(shù)。x2x1x3彈性主軸x3’8/14/202122§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系Qi’jx1x2x3x’1=x1100x’2=x2010x’3=-x300-1代入得8/14/202123§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系應(yīng)變張量具有相同關(guān)系。8/14/202124§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系代入兩組坐標(biāo)系下的彈性方程{?}=[c]{?},比較得8/14/202125§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.3具有三個正交彈性對稱面的材

8、料——正交各向異性材料木