上海高中數(shù)學(xué)-復(fù)數(shù)講義

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1、復(fù)數(shù)一、知識點(diǎn)梳理：1、i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=12、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：，叫實(shí)部，叫虛部，實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)。叫做復(fù)數(shù)集。NZQRC.3、復(fù)數(shù)相等：；4、復(fù)數(shù)的分類：虛數(shù)不能比較大小，只有等與不等。即使是也沒有大小。5、復(fù)數(shù)的模：若向量表示復(fù)數(shù)z，則稱的模r為復(fù)數(shù)z的模，；積或商的?？衫媚５男再|(zhì)（1），（2）6、復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，7、復(fù)平面：這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的坐標(biāo)平面叫做復(fù)平面，其中x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸

2、，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)8、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算復(fù)數(shù)z1與z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.復(fù)數(shù)z1與z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律數(shù)加法的幾何意義：復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di；=+=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)z1-z2的差(a－c)+(b－d)i對應(yīng)由于，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差z－z

3、1與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對應(yīng).9.特別地，zB－zA.，為兩點(diǎn)間的距離。z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線；，z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；，z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓；，z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。10、顯然有公式：11、復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算：復(fù)數(shù)的乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和分配律。實(shí)數(shù)集R中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律,在復(fù)數(shù)集C中仍然成立.即對z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zm

4、n,(z1z2)n=z1nz2n.復(fù)數(shù)的除法：(a+bi)(c+di)==，分母實(shí)數(shù)化是常規(guī)方法12、共軛復(fù)數(shù)：若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部是互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù)；特別地，虛部不為0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)；，兩共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)或向量關(guān)于實(shí)軸對稱。，13、熟記常用算式：，，，，14、復(fù)數(shù)的代數(shù)式運(yùn)算技巧：（1）①②③④（2）“1”的立方根的性質(zhì)：①②③④⑤15、實(shí)系數(shù)一元二次方程的根問題：（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根。（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)共軛虛根，其中。此時(shí)有且。注意兩種題型：

5、虛系數(shù)一元二次方程有實(shí)根問題：不能用判別式法，一般用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等求解。但仍然適用韋達(dá)定理。已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，求的方法：（1）當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí)，已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，求的方法：（1）當(dāng)時(shí)，①即，則②即，則（2）當(dāng)時(shí)，二、典例分析：例1．（1）復(fù)數(shù)等于()A.1－iB.1+iC.－1+iD.－1－i解析:復(fù)數(shù)=，選C．（2）若復(fù)數(shù)同時(shí)滿足－＝2，＝（為虛數(shù)單位），則＝．解：已知；（3）設(shè)a、b、c、d∈R，則復(fù)數(shù)(a+bi)(c+di)為實(shí)數(shù)的充要條件是A.ad－bc=0B.a

6、c－bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=0解析：（1）復(fù)數(shù)=為實(shí)數(shù)，∴，選D；（4）已知（）(A)1+2i(B)1－2i(C)2+i(D)2－i解析：，由、是實(shí)數(shù)，得，∴，故選擇C。（5）設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則。解析：，而所以，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4。點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)，基礎(chǔ)題。例2：（1）計(jì)算：答案：（2）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系，求z；解：設(shè)z=a+bi（a,b為實(shí)數(shù)），由已知可得由復(fù)數(shù)相等可得：，解得，所以設(shè)z=a+bi-x+yi（a,b為實(shí)數(shù)）復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化。（3）若，解方程

7、解：設(shè)x=a+bi(a,b∈R)代入條件得:,由復(fù)數(shù)相等的定義可得：,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。例3：(1)復(fù)數(shù)z滿足，則z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形為（A）A．直線B．圓C．橢圓D．拋物線解：令z=x+yi（x，y∈R），則x2+(y+1)2－[x2+(y－1)2]=1，∴y=1/4。故選A。（2）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足：，求

8、z

9、的最大值與最小值；解：

10、z

11、的最大值為，最小值為；（3）已知z∈C，

12、z－2

13、=1且復(fù)數(shù)z－2對應(yīng)的點(diǎn)落在直線y=x上，求z。解：設(shè)z－2=a+ai，∵

14、z－2

15、=1

16、，∴，∴或。【思維點(diǎn)撥】從整體出發(fā)利用條件，可簡化運(yùn)算，本題也可設(shè)z=a+bi再利用條件，但運(yùn)算復(fù)雜。(4)設(shè)，則復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的圖形面積為_______。解：∵

17、u

18、=

19、

20、?

21、1+i

22、=

23、z

24、，∴≤

25、u

26、≤2，故面積S=?！舅季S點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是處理復(fù)數(shù)問題的常用方法。例4：已知z=1+i，a，b為實(shí)數(shù)，(1)若ω=z2+3－4,求

27、ω

28、;(2)若，求a，b的值。解：（1）ω=(1+i)2+3(1－i)－4=―1―i，∴。（2）由條件，∴，∴