函數(shù)的值域和最值

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1、四、函數(shù)的值域和最值思考：常見的求值域的方法有：（1）直求（利用的范圍一點點向外求值域）；（2）反解（用表示求解）；（3）分離變量；（4）均值不等式；（5）換元為二次函數(shù)（或已知的函數(shù)）；（6）函數(shù)單調(diào)性（包括求導(dǎo)）；（7）用判別式求解；（8）線性規(guī)劃知識。注意：值域依賴于定義域，但不同的定義域可以有相同的值域。預(yù)熱題組：求下列函數(shù)的值域：（1）；；方法：換元解：令，則所以：值域為：（2）；；方法：分離變量和直求解：因為：，所以即值域為：（3）；；方法：分段求，然后求并集?；蚩磮D象答案：（4），方法：求導(dǎo)看單調(diào)性解：013負(fù)0正1減極小值增19所以值域為：例1：設(shè)m是

2、實數(shù)，記M={m

3、m>1},(1)證明：當(dāng)m∈M時，f(x)對所有實數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則m∈M.(2)當(dāng)m∈M時，求函數(shù)f(x)的最小值.(3)求證：對每個m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1.（1）證明：真數(shù)當(dāng)時，真數(shù)為正，即當(dāng)m∈M時，f(x)對所有實數(shù)都有意義同樣地，真數(shù)成立，即，所以若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則m∈M.解：（2）所以：（3）由（2）則當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。所以例2：設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2,畫面的寬與高的比為λ(λ<1),畫面的上、下各留8cm的空白，左右各留5cm空白，怎樣確定畫面的高與

4、寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最??？如果要求λ∈［］，那么λ為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最小？解：（1）設(shè)高為，則寬為（）且面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號答：當(dāng)長為55厘米，高為88厘米時，面積最小為：6760平方厘米。解：（2）同上，在給定的定義域上函數(shù)單調(diào)減，所以當(dāng)時有面積的最小值。例3：已知函數(shù)f(x)=,x∈(1)當(dāng)a=時，求函數(shù)f(x)的最小值.(2)若對任意x∈,f(x)>0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.解：（1），在上成立，所以（2）即恒成立，即，成立，成立令在區(qū)間上減，所以滿足，成立，即大于的最大值，所以練習(xí)1：函數(shù)（）的值域是：A.B.C.D.方法

5、：通過求導(dǎo)利用單調(diào)性（不能用均值，因為沒有正數(shù)條件）解：，函數(shù)單調(diào)減，所以，選B練習(xí)2：函數(shù)的值域是：A.B.C.RD.方法：換元成為二次函數(shù)求解解：令，則，即函數(shù)的最大值為，選A練習(xí)3：一批貨物隨17列貨車從A市以V千米/小時勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車間距離不得小于()2千米，那么這批物資全部運到B市，最快需要_________小時(不計貨車的車身長).方法：利用均值不等式求解解：，當(dāng)且僅當(dāng)即千米/小時時取等號。練習(xí)4：設(shè)為方程的兩個實根，當(dāng)m=_________時，有最小值_________.方法：二次函數(shù)，注意有根條件解：有兩個

6、實根，則，即或當(dāng)時，有最小值為三、解答題練習(xí)5：某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時，固定成本為5000元，而每生產(chǎn)100臺產(chǎn)品時直接消耗成本要增加2500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函數(shù)為R(x)=5x－x2(萬元)(0≤x≤5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺)(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；(2)年產(chǎn)量多少時，企業(yè)所得的利潤最大？(3)年產(chǎn)量多少時，企業(yè)才不虧本？分析：利潤等于收入減去成本解：（1）當(dāng)時，當(dāng)時，即：（2）當(dāng)，最大值為當(dāng)時，最大值所以當(dāng)生產(chǎn)475百臺時，有最大利潤為10.78125萬元（3）不虧本，就是或解得：百臺答：略練習(xí)6：已知函數(shù)(1)

7、若的定義域為，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)的值域為，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）真數(shù)恒成立當(dāng)且時，即時成立當(dāng)時且，解得：或所以，定義域為R，則或（2）值域為R，則真數(shù)可取遍所有正數(shù)當(dāng)且時，即時成立當(dāng)時且，解得：所以，值域為R，則練習(xí)7：某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周(按120個工時計算,這些工時均用于生產(chǎn))生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共360臺，且冰箱至少生產(chǎn)60臺.已知生產(chǎn)家電產(chǎn)品每臺所需工時和每臺產(chǎn)值如下表：家電名稱空調(diào)器彩電冰箱工時產(chǎn)值(千元)432問每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少？(以千

8、元為單位)解：設(shè)生產(chǎn)空調(diào)器臺，彩電臺，冰箱臺，則有：，求總產(chǎn)值的最值當(dāng)時，有最大總產(chǎn)值1050千元答：略練習(xí)8：在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB所在直線為軸將△ABC旋轉(zhuǎn)一周生成兩個圓錐，設(shè)這兩個圓錐的側(cè)面積之和為S1，△ABC的內(nèi)切圓面積為S2，記=x.(1)求函數(shù)f(x)=的解析式并求f(x)的定義域.(2)求函數(shù)f(x)的最小值.解：，且所以：其中，即（2），所以在，函數(shù)單減，練習(xí)9：用總長14.8m的鋼條作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大?并求出它的最大容積.解：設(shè)長、