函數(shù)的最值和值域

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1、函數(shù)的最值和值域一、函數(shù)最值的定義1.最大值：如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量，存在，使得成立，則稱是函數(shù)的最大值．注意：下面定義錯(cuò)在哪里？應(yīng)怎樣訂正．如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量，都有，則稱是函數(shù)的最大值．2.最小值的定義同學(xué)們自己給出．二、最值的求法1.可化為二次函數(shù)的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍．例1已知的最小值為，求的值．例2求函數(shù)的最值．解：令（注意的范圍），這樣所求函數(shù)就變?yōu)槎魏瘮?shù)．總結(jié)：當(dāng)式子中同時(shí)出現(xiàn)和時(shí)，都可以化為二次式．例3求函數(shù)的最值．解：兩邊平方，得問題就轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值．思考：為什么會(huì)想到兩邊平方，要注意哪些問

2、題？2.判別式法：主要適用于可化為關(guān)于的二次方程，由（要注意二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況）求出函數(shù)的最值，要檢驗(yàn)這個(gè)最值在定義域內(nèi)是否有相應(yīng)的的值．例1求函數(shù)的值域．解：函數(shù)可變?yōu)?，即，因?yàn)樵摲匠逃薪?，所以，由得，解得，所以函?shù)的值域?yàn)椋偨Y(jié)：由判別式法求出的值域就是△≥0這個(gè)關(guān)于y的不等式的解集．例2已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，求的值．解：由函?shù)的定義域?yàn)?，得的解集為，即的解集為，∴又由函?shù)的值域?yàn)榈茫瘮?shù)的值域?yàn)?，將函?shù)變?yōu)?，依題意知是這個(gè)關(guān)于的不等式的解集．例3求下列函數(shù)的值域（1）（2）（3）（4）解：（1）用法；或函數(shù)變?yōu)榛驌Q元（的范圍），則（）（2）用法；

3、或，令（注意的范圍）則．（3）（4）用法；或，用均值不等式求最值．3.換元法：很多含根式的函數(shù)的最值的求法經(jīng)常用到換元法來求．常用的換元有———三角代換，整體代換．（1）形如的函數(shù)的最值常用三角代換．例1求函數(shù)的最值．解：因?yàn)?，所以，令，，則總結(jié)：①當(dāng)某個(gè)字母在內(nèi)取值，則該字母可設(shè)為；②當(dāng)某個(gè)字母在內(nèi)取值，則該字母可設(shè)為；或．例2求函數(shù)的最值．設(shè)，則，設(shè)，則（2）形如的函數(shù)的最值常用整體代換．例求函數(shù)的值域．解：令（注意的范圍）4.不等式法：利用均值不等式求最值．例1已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，求的最小值．5.利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值例1求函數(shù)

4、的最小值．例2關(guān)于函數(shù)，有下面四個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為①是奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，；③的最大值是；④的最小值是．6.含絕對(duì)值的函數(shù)或分段函數(shù)的最值的求法例1例27.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例1求函數(shù)在區(qū)間上的最值．例28.其他例設(shè)表示中最小的一個(gè)，給出下列命題：①；②設(shè)，有③變式練習(xí)（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的最大值．三、最值在函數(shù)中的廣泛應(yīng)用在函數(shù)中，主要是研究自變量的變化對(duì)函數(shù)值會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響，因此，函數(shù)題中很多條件可以從函數(shù)值的角度去理解，即可把問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)的值域或最值．1.方程有解問題通過分離參數(shù)，將方程化為，則求的范圍就是求函數(shù)的值域．2.不等式恒成立或不等

5、式有解問題這類問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．3.（為常數(shù)）這個(gè)不等式可以理解為任意兩個(gè)函數(shù)值的差的絕對(duì)值小于等于，即等價(jià)．類似地，“存在，使成立”怎樣轉(zhuǎn)化呢？4.對(duì)任意都成立．這個(gè)不等式變形為，可以理解為函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率的絕對(duì)值小于等于，即任意點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值小于等于（），屬不等式恒成立問題．思考：若存在，使不等式成立．可以怎樣轉(zhuǎn)化呢？5.對(duì)于任意，總存在，使得．上面的語句可以理解為：函數(shù)的任意一個(gè)函數(shù)值都是函數(shù)的某個(gè)函數(shù)值，即的值域是的值域的子集．類似地，“存在，，使得”可以怎樣理解？6.存在，使得上面的語句可以理解為：存在三個(gè)函數(shù)值，使得其中兩個(gè)

6、函數(shù)值的和會(huì)大于第三個(gè)函數(shù)值，即針對(duì)訓(xùn)練1．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于任何一個(gè)，都有唯一的和它對(duì)應(yīng)，并使（為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)在上的均值為．給出下列四個(gè)函數(shù)：①②；③；④．則滿足在定義域上均值為2的函數(shù)有2.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和值域；（2）設(shè)，函數(shù)，，若對(duì)于任意，總有，使得成立，求的取值范圍．3.設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．（1）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，．若存在使得成立，求的取值范圍．