方法歸納 構(gòu)造三角形全等

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1、華章文化word版習(xí)題方法歸納構(gòu)造三角形全等方法一與角平分線有關(guān)的“截長補(bǔ)短”法【例1】如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,試判斷AB，AC，CD三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(想一想,你會幾種方法)【方法總結(jié)】運(yùn)用截長補(bǔ)短法構(gòu)造三角形全等有兩個標(biāo)志：一是有“角平分線”；二是出現(xiàn)“一條線段等于兩條線段的和或者差”.截長或者補(bǔ)短都是在角平分線的角的兩邊進(jìn)行的,目的是借助角平分線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形.變式練習(xí)1在五邊形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°.求證DA平分∠CDE

2、.變式練習(xí)2如圖,在△ABC中,∠A=60°,BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB,BD，CE交于點(diǎn)O,試判斷BE,CD,BC的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.方法二與角平分線有關(guān)的作垂線的方法【例2】如圖,AD∥BC,DC⊥AD,AE平分∠BAD,E是DC的中點(diǎn).問：AD,BC,AB之間有何關(guān)系？并說明理由.變式練習(xí)3如圖,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,過C作CE⊥AB于E,并且AE=(AB+AD),求∠ABC+∠ADC的度數(shù).方法三“中線倍長”法【例3】求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半.www.sjhzhb.c

3、om（編輯部）027-87778916華章文化word版習(xí)題【方法總結(jié)】涉及三角形中線問題時,常采用延長中線一倍的辦法,即中線倍長法.它可以將分居中線兩旁的兩條邊AB，AC和兩個角∠BAD和∠CAD集中于同一個三角形中,以利于問題的獲解.變式練習(xí)4已知,△ABC中,AB=4cm,BC=6cm,BD是AC邊上的中線,求BD的取值范圍.變式練習(xí)5已知：如圖,AD,AE分別是△ABC和△ABD的中線,且BA=BD.求證：AE=AC.參考答案例1AB=AC+CD.理由如下：方法1：在AB上截取AE=AC,連接DE.易證△AED≌△A

4、CD(SAS）,∴ED=CD,∠AED=∠C.∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠C=∠AED=∠B+∠EDB.又∵∠C=2∠B,∴∠B=∠EDB.∴BE=DE.∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD.方法2：延長AC到點(diǎn)F,使CF=CD,連接DF.∵CF=CD,∴∠CDF=∠F.∵∠ACB=∠CDF+∠F，∴∠ACB=2∠F.又∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠F.∴△ABD≌△AFD(AAS）.∴AB=AF.∴AB=AF=AC+CF=AC+CD.變式練習(xí)1證明：延長DE至F,使EF=BC,連接AC,AF.∵∠ABC+∠AED

5、=180°,∠AED+∠AEF=180°,∴∠ABC=∠AEF.∵AB=AE，∴△ABC≌△AEF,∴AC=AF.∵BC+DE=CD,DE+EF=DF，∴CD=DF.∴△ACD≌△AFD.∴∠CDA=∠FDA.即DA平分∠CDE.變式練習(xí)2證明：在BC上截取BF=BE,連接OF.∵BD平分∠ABC,∴∠EBO=∠FBO,∴△EBO≌△FBO.∴∠EOB=∠FOB.∵∠A=60°,BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB,∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-∠ABC-∠ACBwww.sjhzhb.com（編輯部）0

6、27-87778916華章文化word版習(xí)題=180°-(180°-∠A）=120°,∴∠EOB=∠DOC=60°,∴∠BOF=60°,∠FOC=∠DOC=60°.∵CE平分∠DCB,∴∠DCO=∠FCO,∴△DCO≌△FCO.∴CD=CF.∴BC=BF+CF=BE+CD.例2AB=AD+BC.理由：作EF⊥AB于F,連接BE.∵AE平分∠BAD,DC⊥AD,EF⊥AB,∴EF=DE.∵DE=CE,∴EC=EF.∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL）.∴BF=BC.同理可證：AF=AD.∴AD+BC=AF+BF=AB.即AB=

7、AD+BC.變式練習(xí)3過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長線于F.∵AE=(AB+AD）,∴AB+AD=2AE.∵AC平分∠BAD,即∠DAC=∠CAB,且CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE=CF.又∵AC=AC,∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL）.∴AF=AE.∴AB+AD=AE+AF,∴AB-AE=AF-AD.即BE=DF.∴Rt△CFD≌Rt△CEB(SAS）,∴∠ABC=∠CDF,∴∠ABC+∠ADC=∠CDF+∠ADC=180°.例3已知：如圖,△ABC中,AD是BC邊上的中線.求證:AD<(AB+AC）.證明：延長AD至

8、E,使DE=AD,連接CE,則AE=2AD.在△ADB和△EDC中,∴△ADB≌△EDC(SAS）.∴AB=CE.又∵在△ACE中,AC+CE＞AE,∴AC+AB＞2AD,即AD<(AB+AC）.變式練習(xí)4如圖,延長BD至E,使DE=BD.連接CE.∵BD是AC邊上的中線,∴CD=AD.∵