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1、第9章梁的變形與剛度設(shè)計(jì)DESIGNOFBEAMSFORBENDINGDEFLECTIONS一。彎曲變形概念OPyxθv受載荷作用后，梁的軸線將彎曲成為一條光滑的連續(xù)曲線在平面彎曲的情況下，這是一條位于載荷所在平面內(nèi)的平面曲線。梁彎曲后的軸線稱為撓曲線。梁截面有沿垂直方向的線位移v，稱為撓度；相對(duì)于原截面轉(zhuǎn)過(guò)的角位移θ，稱為轉(zhuǎn)角撓曲線是一條連續(xù)光滑平面曲線，其方程是撓度v—截面形心在坐標(biāo)y方向上的位移，其正負(fù)號(hào)與y坐標(biāo)軸正負(fù)相符；轉(zhuǎn)角θ—橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度，其正負(fù)號(hào)，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)，在小變形情況下，有二。撓曲線的近似微分方程對(duì)梁
2、，有：對(duì)平面曲線，有關(guān)系式：由上兩式可得：考慮到彎矩M的符號(hào)與撓曲線凸向之間的關(guān)系M>0v''>0xyM<0v''<0xy可見(jiàn)，M與v‘’的符號(hào)相同，撓曲線的近似微分方程為：三。計(jì)算彎曲變形的積分法用直接積分法求梁的彎曲變形：彎矩方程是一個(gè)分段函數(shù)，設(shè)某段函數(shù)為Mi，則該段的微分方程是積分一次得再積分一次得如果M(x)是n段分段函數(shù)(i=1,2,...,n)，則要決定2n個(gè)積分常數(shù)，它們可以通過(guò)下列條件決定：1.邊界條件：指梁的約束條件，一根靜定梁有2個(gè)約束條件；(1)固定端截面：撓度和轉(zhuǎn)角均為0；(2)鉸鏈約束：撓度為0；2.光滑連續(xù)性條件
3、：撓曲線的任意點(diǎn)上的撓度和轉(zhuǎn)角是唯一的，n段分段函數(shù)有(n-1)個(gè)分段點(diǎn)，在分段點(diǎn)上有：θj=θj+1，vj=vj+1(j=1,2,…,n-1)，共有2(n-1)個(gè)條件；而不會(huì)出現(xiàn)撓度和轉(zhuǎn)角不等情況。在工程計(jì)算中，習(xí)慣上用f來(lái)表示梁在指定截面處的撓度。例9-1求圖示簡(jiǎn)支梁受集中載荷P作用下的彎曲變形θA、θB和最大撓度。RABARBPCablyxx解使用積分法求轉(zhuǎn)角和撓度。求約束反力。取梁AB作為研究對(duì)象，加上約束力RA和RB，然后使用平衡方程(b)求彎矩方程。因AC、CB兩段彎矩方程不同，分別寫(xiě)出彎矩方程CB段AC段(c)列撓曲線微分方程并
4、二次積分。CB段AC段(d)決定積分常數(shù)。利用支座A、B處邊界條件和左、右兩段梁連接處C的光滑連續(xù)性條件代入上述轉(zhuǎn)角和撓度方程，確定積分常數(shù)(1)光滑連續(xù)性條件(2)邊界條件:(e)結(jié)果（轉(zhuǎn)角和撓度方程）。AC段CB段(f)求指定截面的彎曲變形。要決定最大撓度，令：在a>b時(shí)，最大撓度發(fā)生在AC段，可求得則最大撓度為四。計(jì)算彎曲變形的疊加法在幾個(gè)載荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)所引起的此物理量的總和（代數(shù)和或矢量和）。這就是疊加原理。例9-2用疊加法求圖示外伸梁的θC和vC，梁的抗彎剛度是EI。aBACaqaM=qa2P
5、=qa解使用疊加積分法求轉(zhuǎn)角和撓度。(a)將梁上的載荷分解為三種簡(jiǎn)單載荷單獨(dú)作用的情形。BACaaaP=qa(1)BACaqaa(3)BACaaaM=qa2(2)(b)而第三種情形又可分解為如下二種載荷單獨(dú)作用的情形。(32)BACaaaqaqa2/2(31)BACaqaaqa2/2qa(31)’BACaqaaqa(32)’BACaaaqa2/2(c)應(yīng)用撓度表確定三種下，梁c點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角和撓度。查表：而對(duì)第三種情形下二種載荷單獨(dú)作用下，應(yīng)用疊加法進(jìn)行疊加。(d)應(yīng)用疊加法，將三種情形下轉(zhuǎn)角和撓度疊加。五。梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)1.梁的剛度
6、條件指梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角不能超過(guò)許可值，即彎曲構(gòu)件的剛度條件。2剛度的合理設(shè)計(jì)對(duì)于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是根據(jù)對(duì)零件和構(gòu)件的不同要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度條件。BAP=3.5kNC500500q=1.035kNm例9-3。簡(jiǎn)化電機(jī)軸的尺寸和載荷如圖所示，已知E=200GPa，d=130mm，定子與轉(zhuǎn)子的許用間隙δ=0.35mm；校核軸的剛度。解(a)用疊加法求梁的最大撓度(b)剛度校核軸的剛度足夠。3提高梁的彎曲剛度的措施由梁的撓曲線近似微分方程可見(jiàn)，梁的彎曲變形與彎矩M（x）及抗彎剛度有關(guān)，而影
7、響梁彎矩的因素又包括載荷、支承情況及梁的有關(guān)長(zhǎng)度。因此，為提高梁的剛度，可采用如下一些措施：1）.選擇合理的梁截面，從而增大截面的慣性矩I；2）.調(diào)整加載方式，改善梁結(jié)構(gòu)，以減小彎矩：使受力部位盡可能靠近支座；或使集中力分散成分布力；3）.減小梁的跨度；增加支承約束；其中第三種措施的效果最為顯著，因?yàn)榱旱目玳L(zhǎng)或有關(guān)長(zhǎng)度是以其乘方影響梁的撓度和轉(zhuǎn)角的。六。簡(jiǎn)單靜不定梁求解簡(jiǎn)單靜不定梁。首先，根據(jù)靜不定次數(shù)選取靜不定梁的基本結(jié)構(gòu)。解除多余約束(個(gè)數(shù)與靜不定次數(shù)相同)，用多余約束力來(lái)代替，得到靜不定梁的基本結(jié)構(gòu)CBAPCBAPRC其次，找出變形幾何
8、關(guān)系，即多余約束處梁的變形應(yīng)滿足的條件，求出多余約束處的變形，由此得到補(bǔ)充方程，聯(lián)立求解補(bǔ)充方程和平衡方程，得出所有約束力，lCl/2BDA例9-4。圖示桿系中，A
