梁的變形分析與剛度問題

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1、第8章梁的變形分析與剛度問題1.彎曲變形的描述Fxwx撓曲線（軸）w(x)?(x)?(x)彎曲使梁的任意x截面產(chǎn)生彎曲位移：（1）截面形心的鉛垂位移——撓度w(x)(向上為正)（2）截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度——轉(zhuǎn)角?(x)(?為正)Fxwx撓曲線（軸）w(x)?(x)?(x)撓度方程w=w(x)(13.9)轉(zhuǎn)角方程?=?(x)(13.10)由平面假設(shè)，小變形時得：(13.11)撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系2.撓曲線近似微分方程由變形幾何關(guān)系：平面曲線w=w(x)的曲率為小變形簡化：符號的選擇：與w軸及M的符號規(guī)定有關(guān)——取+號撓曲線近似微分方程(13.12)（若梁的M(x)

2、分段表示，上式也應(yīng)分段表示）M>0計(jì)算梁的位移的積分法撓曲線近似微分方程(13.12)對上式積分一次，得轉(zhuǎn)角方程：(13.13)再積分一次，得撓度方程：(13.14)其中，C，D為積分常數(shù)對分段的M(x),每段有2個常數(shù)，—若分n段，有2n個常數(shù)。積分常數(shù)的確定：對靜定梁——支座處有2個位移約束條件若梁的M(x)方程分為n段表示——共有n-1個分段點(diǎn)共有2n個積分常數(shù)確定2n個積分常數(shù)的條件（定解條件）：支座處的約束條件（2個）分段點(diǎn)處的撓度、轉(zhuǎn)角連續(xù)條件（2(n-1)個）共2n個條件常見的支座約束條件：（2）固支端（）（1）鉸支座（）xwl例如：xwl例

3、如：（3）彈簧鉸支座（彈簧系數(shù)k）例如：xwFllBAFT常見的分段點(diǎn)連續(xù)條件：（1）連續(xù)的撓曲軸上的分段點(diǎn)連續(xù)撓曲線上任意一點(diǎn)只有一個撓度、一個轉(zhuǎn)角。第i個分段點(diǎn)處：撓度連續(xù)xiixwi(x)wi+1(x)Mi(x)Mi+1(x)轉(zhuǎn)角連續(xù)(2)中間鉸處僅撓度連續(xù)，轉(zhuǎn)角不連續(xù)B點(diǎn)撓度連續(xù)BACw1(x)w2(x)ll例題13-5?例題指出以下各梁共幾個積分常數(shù)并寫出全部定解條件。aaaxwFq(1)解：此梁應(yīng)分為3段積分，共6個常數(shù)。w1(x)w2(x)w3(x)定解條件：例題13-5?例題w1(x)w2(x)解：此梁應(yīng)分為2段積分，共4個常數(shù)。定解條件：

4、xwlaq(2)彈簧系數(shù)為kqql/2ql/2例題13-6?例題求圖示梁的和解：AC段：CB段：1.列內(nèi)力方程應(yīng)分為2段列內(nèi)力方程：例題13-6?例題2.分段積分:AC：CB：AC:CB：w1(x)w2(x)例題13-6?例題3.定解條件：解得常數(shù)為：w1(x)w2(x)例題13-6?例題???B設(shè)a>b4.求最大轉(zhuǎn)角：例題13-6?例題???B5.求最大撓度：fmax設(shè)a>b，應(yīng)在AC段出現(xiàn)，令得：f中與fmax相差由于內(nèi)力是載荷的線性函數(shù)。稱為疊加原理位移計(jì)算中的疊加原理1.疊加原理（對線彈性材料，小變形）因此同理，結(jié)構(gòu)中的位移（如）也是載荷的線性函數(shù)

5、，故也有2.彎曲位移計(jì)算的載荷疊加法利用基本變形表13.2求圖示梁的例題13-7?例題求例題13-8?例題求例題13-9?例題求解：3.求結(jié)構(gòu)位移的變形疊加法——分段剛化法例題13-9?例題先用載荷疊加法：（1）（2）對情況（1）：梁的BC段無變形。對情況（2）：應(yīng)用分段剛化法。1(a)AB段剛化,BC段變形例題13-9?例題AB(b)BC段剛化，AB段變形ABCCABCFa?B2例題13-10?例題ABCDlllEIEAwxF求圖示結(jié)構(gòu)C點(diǎn)的撓度。解：1.BD剛化，AB變形ABCllEIwxFB點(diǎn)相當(dāng)于簡支座：wC12.AB剛化，BD變形例題13-10?

6、例題ABCDlllEIEAwxFwB22.AB剛化，BD變形wC2BD桿軸向拉伸：（負(fù)號表示）已知梁的直徑d及求解：（1）AB剛化BC變形例題13-11?例題（?）xyz(C截面繞x軸轉(zhuǎn)過的角度）（2）BC剛化AB變形例題13-11?例題xyz對圓截面桿：F使AB段彎曲M使AB段扭轉(zhuǎn)C截面繞y軸轉(zhuǎn)過的角度：例題13-11?例題xyz（?）例題13-12?例題hbl一彎曲鋼梁，截面為矩形，兩端各加力F，使其平直地與剛性平面MN接觸，已知梁的E，l，b，h，及?，求：（1）F力多大可將梁壓平？（2）壓平時梁中的最大正應(yīng)力。FF?例題13-12?例題hbl解：曲

7、梁壓平產(chǎn)生彎曲變形，梁中產(chǎn)生彎曲應(yīng)力。壓平后與剛平面接觸——地面對梁有均布支持力q。qFF由平衡條件得：FF?例題13-12?例題hblqFFFF?均布載荷簡支梁的彎曲撓曲線為：若曲梁變形前的彎曲形狀恰好為此形狀，則F力剛好可使該曲梁壓平。壓平時，例題13-12?例題hblqFFFF?4.畫出撓曲線的大致形狀(1)滿足支座約束條件(2)撓曲線的凹凸性(3)處為撓曲線的拐點(diǎn)撓曲線的大致形狀可根據(jù)支座及彎矩圖判斷。例如：（M）?A=0?B=0提高彎曲強(qiáng)度和剛度的措施（1）合理安排梁的受力1.提高梁的強(qiáng)度的措施分散載荷支座位置(2)梁的合理截面放置方向截面形狀(

8、3)等強(qiáng)度梁使所有橫截面上的最大正應(yīng)力相同或近似相同汽車上使用的疊