數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)探討

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1、數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)探討胡云端湖北省安陸市孛畈中心學(xué)校湖北安陸4326001993年全國高考數(shù)學(xué)科命題組就指出：“要考查一些開放問題”，當(dāng)前數(shù)學(xué)開放題之所以引起我們中學(xué)數(shù)學(xué)教師的關(guān)注，我以為一是以實踐能力、創(chuàng)新意識的培養(yǎng)為核心的素質(zhì)教育的深入的需要．?dāng)?shù)學(xué)開放題對培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性（結(jié)論開放）、聚斂性(條件開放)、創(chuàng)造性（策略開放），不失為好載體．二是高考命題的導(dǎo)向作用，數(shù)學(xué)開放題走進高考試卷的需要．三是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的需要．我們的數(shù)學(xué)教育不僅要讓學(xué)生學(xué)會繼續(xù)深造所必需的數(shù)學(xué)基本知識，基本方法，基本技能，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，用數(shù)學(xué)的思維方式

2、去觀察分析現(xiàn)實社會，去解決現(xiàn)實生活中的問題．為了滿足上述三方面的需要，必需將開放題引進課堂教學(xué)．本文談對數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的一些認(rèn)識，不當(dāng)之處，謹(jǐn)請多多指教．１、砸破籬笆，讓學(xué)生展開想象的翅膀青少年時代是一生中最富有活力、充滿想象的時代．開放題往往形式活潑，供學(xué)生思考的角度眾多，思維活動的空間寬闊，正好給青少年學(xué)生提供了一個展翅的舞臺．而封閉題往往形式單一，要求學(xué)生在特定的范圍內(nèi)進行定向思維．長期作這類機械式的思維訓(xùn)練，學(xué)生的思維中將立起一道道難以逾越的籬笆．這樣的教學(xué)活動，不僅沒有促進學(xué)生進一步開放自己，反而束縛了他們的思想．通過開放式教學(xué)，可以讓學(xué)生砸破這

3、些禁錮思想的籬笆，展開想象的翅膀，自由地發(fā)揮自身才華．根據(jù)我校搬遷前曾有一塊操場需要改造這一實際，我們編擬：開放題１我校準(zhǔn)備在長120米，寬100米的空地上建造操場，請同學(xué)們設(shè)計操場形狀，思考能否造出滿足以下條件的環(huán)形操場．①每道跑道寬1.22米；②跑道用直線或圓弧吻接；③跑道共八道且內(nèi)圈為300米．4本題有學(xué)生認(rèn)為不能造出滿足要求的操場，他認(rèn)為操場應(yīng)由兩個半圓和一個矩形構(gòu)成（如圖１），經(jīng)計算，跑道內(nèi)圈無論如何達不到300米的要求．也有學(xué)生認(rèn)為能造出滿足要求的操場，可將操場設(shè)計成如圖２，由四個四分之一圓弧及五個矩形構(gòu)成．還有學(xué)生將操場設(shè)計成如圖３，彎道部分

4、由三段圓弧組成，他們認(rèn)為這樣才是操場．更有學(xué)生將操場設(shè)計成花園式（如圖４），跑道全部由圓弧組成，他們認(rèn)為這樣的操場更美．開放題2用一塊長2米，寬1.6米的玻璃加工出橢圓形鏡子（鏡面為完整的一體）．①要使鏡面面積最大，該如何設(shè)計加工鏡子(注S橢=)．本題主要考察學(xué)生如何畫出橢圓，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力．可以用硬紙板代替玻璃，讓學(xué)生親手畫一畫，動手截一下．學(xué)生至少可從以下幾個角度去思考:①建立坐標(biāo)系，寫出方程描點；②確定焦點，長軸長，由第一定義得到；③用解析幾何課本P116橢圓參數(shù)方程的定義；④用橢圓規(guī)工作原理(P124)．2、傳授定式，幫學(xué)生克服畏懼的心理開放題

5、引入課堂教學(xué)之初，學(xué)生的表現(xiàn)往往士為一是覺得好奇，感到有趣；二是感到畏懼，不知從何處入手．這就要求我們教師介紹一些典型開放題的求解思路，幫學(xué)生建立科學(xué)的思維定式．⑴尋找充分條件型開放題．開放題3　在直四棱柱中（如圖５），當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件時，有（填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形1998高考卷第18題）．這類題型，只需找到能使結(jié)論成立的一個充分條件即可，而不必去尋找結(jié)論成立的充要條件．這類問題的要求并不高，可考慮特殊值或極端情形，從而找出充分條件．這一點，學(xué)生一開始往往不習(xí)慣．⑵“是否存在”型開放題．開放題4設(shè){}是由正數(shù)組成的

6、等比數(shù)列,是其前n項和.是否存在常數(shù)Ｃ>0,使得成立？并證明你的結(jié)論（1995高考卷第25題）．這類開放題的答案，不是肯定就是否定，開放度較?。簟按嬖凇?，就是具有適合條件的某種數(shù)學(xué)對象，無論用什么方法，只要找出一個就說明存在．若“不存在”，一般需要有嚴(yán)格的推理論證．故這類“是否存在”型開放題的解4決思路一般為，先假設(shè)存在滿足條件的數(shù)學(xué)對象，如果找出矛盾，說明假設(shè)不成立，進而否定假設(shè)，如果經(jīng)過嚴(yán)格推理，沒有找到矛盾，說明確實存在，找出滿足條件的一個對象即可．⑶猜想型開放題．開放題5已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1＋b2＋……＋bｎ＝145，b1=1．①求數(shù)

7、列{bn}的通項bn；②設(shè)數(shù)列{an}的通項an=其中a＞0且a≠1），sn是數(shù)列{an}的前n項和，試比較sn與的大小(1998高考理科第25題)．解答這類開放題，要求學(xué)生學(xué)會猜想．可我們在日常教學(xué)中，往往過分強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性，忽視實驗猜想等合情推理能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)枯燥、無趣、難學(xué)．我們應(yīng)該教會學(xué)生如何猜想．教學(xué)生通過實驗、觀察，進行猜想，教學(xué)生通過對特例（特殊值）的分析、歸納,猜想一般的規(guī)律（共性），教學(xué)生通過比較、概括得到猜想，教學(xué)生對具體問題的特殊解從宏觀上作出估算．先有猜想，再作嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明．這樣“既教猜想，又教證明”，讓

8、學(xué)生體會到數(shù)學(xué)也是生動活潑，充滿激情，并富有哲理的一門學(xué)科．不至于