例談構造法常見類型

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1、例談構造法的常見類型馮寅構造法是數學解題中富有創(chuàng)造性的思維方法，它要求我們改變思維方向，換一個角度去思考，通過分析具體命題，構造一些新的圖形、模型、方程、函數等。使命題中原來隱晦不清的關系和性質，在新的構造中清楚地展現出來，從而簡捷地解決原命題。在中學數學中可以進行怎樣的構造呢？一、構造函數例1.若，且滿足方程：和，則_________。分析：此題一時無從著手，研究已知條件，發(fā)現兩個等式有一些相似的地方，對第二個等式進行變形可得：，對照兩等式和所求的結論思考，是否可以找到x和2y的關系？構造函數，則兩個條件分別變?yōu)椋汉?，即，因為函數是奇函?/p>

2、，所以有，又因為當時，是單調遞增的函數，所以有：，即，因此，。說明：函數是數學中一種重要的知識，函數的性質千變萬化，所以在解題中若能構造函數，利用函數的性質，將會給我們的解題帶來很大的方便。二、構造方程例2.已知，且，證明x，y，z成等差數列。分析：要證x，y，z成等差數列，其充要條件是，對照條件與結論，由條件的二次式要化為結論的一次式難度較大。仔細觀察條件式的結構特點，發(fā)現很象二次方程中的判別式，反過來構造二次方程，再分析關于t的二次方程的系數特點，各項系數之和為零，所以方程必有一根為1，而方程判別式為零，所以方程有兩個等根1。由根與系數

3、關系得：即說明：每個問題都有自己深刻的內涵，結構上也都有各自的特點，在解決問題時若能深入地了解它的本質，對我們解決問題大有益處，而構造方程是我們構造法中的重要內容。三、構造圖形例3.已知正數a、b、c，A、B、C滿足。求證：分析：此題解決的方法很多，但都不是很簡單的。如何利用好已知的等式是解決此題的關鍵，我們以k為邊長構造一個正三角形MNP（如圖1），則各頂點上小三角形面積之和小于大三角形的面積。故有圖1從而得說明：數與形是數學學習中的兩個方面，構造圖形以形助數，是我們數學學習中的一種重要手段。四、構造情景例4.求證：分析：根據等式的右邊，

4、我們可以構造這樣的情景：“從n+m個不同的元素中取出k個元素，共有多少種不同的取法？”由于組合恒等式的左邊為k+1項之和，這意味著完成這件事有k+1類辦法。又因為每項都是兩個組合數的乘積，表示每一類辦法都需分兩步來完成。第一步在其中n個元素中取i個，第二步在另m個元素中取個（，），每類辦法都是總共取出k個元素。至此，易得這個恒等式。說明：通過上例，我們可以看出，在證明某些等式時，我們可以先為它設置一個情景，在這個情景下，通過新的知識加以解決。五、構造對稱例5.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。分析：這是一個很普通的三角

5、題目，解法很多。注意到，可設，構造，再將a與b相乘得：所以說明：對稱是數學中的一種重要表示形式，在解決問題時我們經常利用對稱的思想，當所給的條件不具備對稱時，我們可以創(chuàng)造條件利用對稱來解題。六、構造模型例6.求二元函數的最小值。分析：此題很難用常規(guī)的方法來加以解決。觀察結構的特點，很象兩點之間的距離公式。把函數關系看成是點P（x，）和點Q（y，）的距離，而點P（x，）的軌跡是直線：，點Q（y，）的軌跡是雙曲線：，所以原問題轉化為：直線上的點和雙曲線上的點的距離平方的最小值。由圖象可知，AB連線過原點且與直線垂直時，其交點C到B最近。此時，A

6、、B、C三點的坐標是A（1，1），B（―1，―1），C（，），，即F（x，y）的最小值是。圖2說明：數學中很多公式就是一個模型，如兩點之間的距離公式，直線的斜率公式，定比分點坐標公式，復數的模等等。只要我們仔細觀察，合理構建，一定能找到合適的解題途徑。