第二章 一維隨機(jī)變量和其分布

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1、2009智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列---概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章一維隨機(jī)變量及其分布■2009考試內(nèi)容隨機(jī)變量隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度常見隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布■2009考試要求1．理解隨機(jī)變量的概念，理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，會(huì)計(jì)算與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率。2．理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二項(xiàng)分布、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布及其應(yīng)用。3．了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會(huì)用泊松分布近似表示二項(xiàng)分布

2、。4．理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布U（a,b）、正態(tài)分布N（）、指數(shù)分布及其應(yīng)用，其中參數(shù)為的指數(shù)分布E（）的概率密度為5．會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的分布。本章導(dǎo)讀本章的核心內(nèi)容是8大分布函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的模型；如何根據(jù)定義求的函數(shù)分布一般方法。介紹了作者用于分布函數(shù)求一維分布的直角分割法秘技。分布函數(shù)的定義歷來(lái)是使讀者感到迷茫的知識(shí)點(diǎn)，如為什么要求分布函數(shù)必須右連續(xù)等問(wèn)題？目前的教材和參考書的講法都不清晰，作者系統(tǒng)地揭開了這一神秘?cái)?shù)學(xué)面紗。一、隨機(jī)變量1概念隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果（即每一基本事件

3、），對(duì)應(yīng)樣本間的集合中每一元素，我們都可以設(shè)令一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示該元素，顯然，為實(shí)值單值函數(shù)，稱為隨機(jī)變量。對(duì)，我們?cè)囼?yàn)前無(wú)法確定，也就無(wú)法事先確定的值，只有在試驗(yàn)后才會(huì)知道的值，但取值一定服從某種確定的分布。522009智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列---概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量與普通函數(shù)區(qū)別有三，第一，隨機(jī)變量定義域?yàn)闃颖究臻g的基本事件；第二，隨機(jī)變量取值是隨機(jī)的，只有它取每一個(gè)可能值有確定的概率；第三，隨即變量是隨機(jī)事件的人為數(shù)量化，而且這種數(shù)值只是一種符號(hào)表示。比如：將一枚硬幣拋三次，以表示三次投擲中出現(xiàn)正面

4、的總次數(shù)，那么，對(duì)于樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)，都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，即樣本點(diǎn)的值32221110二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.1隨機(jī)變量的分布函數(shù)（適合任何類型的隨即變量）陳氏第2技隨機(jī)變量的分布函數(shù)的全新揭秘?！穹植己瘮?shù)定義形式的淵源一般情況下，人們只對(duì)某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率感興趣，即研究下列四種可能的區(qū)間的概率讀者只要利用一維坐標(biāo)軸就分容易得出下列結(jié)論當(dāng)所以，我們只須定義一個(gè)形式就可以了，其他區(qū)間形式都可以用它表示出來(lái)。于是定義：為的分布函數(shù)。它就是落在任意區(qū)間上的概率，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)，對(duì)于離散點(diǎn)，采用疊加，對(duì)于

5、連續(xù)點(diǎn)，使用一元積分?！窬哂邢铝兄匾再|(zhì)：?jiǎn)蔚虿粶p；因?yàn)閰^(qū)間越大，概率越大。；522009智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列---概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)上述全部可能的表示中，只有，但，因?yàn)榧偃?，那么，?dāng)離散型在點(diǎn)的概率不為零時(shí)，等式就會(huì)出現(xiàn)矛盾，故不可能左連續(xù)。其中，是計(jì)算離散型分布函數(shù)的重要公式。又，上式中根本不可能出現(xiàn)的形式，對(duì)上述5種關(guān)系沒(méi)有任何影響，即右連續(xù)。當(dāng)然，由于連續(xù)型在一點(diǎn)的概率恒為零，所以，連續(xù)型分布函數(shù)左連續(xù)和右連續(xù)同時(shí)成立。正是要求右連續(xù)，才使成為分布函數(shù)的普適定義。評(píng)注分布函數(shù)可以描述任何類型的隨機(jī)

6、變量，不僅可以描述連續(xù)型，還可以描述離散型及其其他非連續(xù)型，但不同的隨機(jī)變量可以有相同的分布函數(shù)。對(duì)連續(xù)型任一點(diǎn)的概率等于零，而對(duì)非連續(xù)型任一點(diǎn)的概率不一定等于零。我們要重點(diǎn)掌握離散和連續(xù)兩類隨機(jī)變量的分布規(guī)律。注意，存在既非離散型又非連續(xù)型的分布函數(shù)，如等類型，。2．2離散型隨機(jī)變量的分布律（概率分布）當(dāng)隨機(jī)變量所取的有限個(gè)或可列個(gè)值，能夠按照由小到大的順序排列時(shí)，稱為離散型隨機(jī)變量。當(dāng)已知分布函數(shù)，求分布律（概率分布）的計(jì)算方法是（參閱【例9】）。設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為，事件的概率為，離散型分布函數(shù)稱

7、為離散分布律，一般使用列表表示。注意:522009智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列---概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。要求掌握的離散性分布律有5種：分布，伯努利二項(xiàng)分布，泊松分布，幾何分布和超幾何分布。評(píng)注離散分布函數(shù)一般為階梯函數(shù)。已知離散分布函數(shù)，根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)，可以計(jì)算出離散分布律；反過(guò)來(lái)，已知離散分布律，根據(jù)一維直角分割法，可以計(jì)算出離散分布函數(shù)。2.3連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度（分布密度）稱為連續(xù)分布函數(shù)稱為概率密度，或分布密度。離散型分布函數(shù)反應(yīng)在各個(gè)分布點(diǎn)上，而連續(xù)型分布點(diǎn)上的分布函數(shù)為0，顯然不能反應(yīng)其分布本

8、質(zhì)，故而使用其相應(yīng)的概率密度或稱分布密度來(lái)反應(yīng)分布規(guī)律。●連續(xù)型具有下列性質(zhì)連續(xù)型是連續(xù)函數(shù)（左右均連續(xù)），即：；連續(xù)型幾何意義是面積，且：；要求掌握的連續(xù)型分布函共有3種：均勻分布，指數(shù)分布和正態(tài)分布。陳氏第3技常年考點(diǎn)用到的5個(gè)分布函數(shù)組合的重要結(jié)論。只有存在概率密度（不恒為零）的隨機(jī)變量才稱為連續(xù)型，但不能錯(cuò)誤認(rèn)為分布函數(shù)連續(xù)的隨機(jī)變量為連續(xù)型。如分布函數(shù)就不是連續(xù)型。若均是分布