數(shù)列及不等式證明專題

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1、數(shù)列與不等式證明專題復(fù)習(xí)建議：1．“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果2．歸納——猜想——證明體現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想．學(xué)習(xí)這部分知識，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，計(jì)算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力，都有重大意義．3．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來分析、解決

2、問題．4．?dāng)?shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解．證明方法：（1）先放縮后求和；（2）先求和后放縮(3)靈活運(yùn)用例1．?dāng)?shù)列(Ⅰ)求并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)證明：當(dāng)分析：本題給出數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，且要對n分奇偶性。解:(Ⅰ)因?yàn)樗砸话愕兀?dāng)時，＝，即所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此當(dāng)時，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項(xiàng)公式為(Ⅱ)由(Ⅰ)知，①②①-②得，所以要證明當(dāng)時，成立，只需證明當(dāng)時，成立.證法一(1)當(dāng)n=6時，成立.(2

3、)假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即則當(dāng)n=k+1時，由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時，.即當(dāng)n≥6時，證法二令，則所以當(dāng)時，.因此當(dāng)時，于是當(dāng)時，綜上所述，當(dāng)時，點(diǎn)評：本題奇偶分類要仔細(xì)，第（2）問證明時可采用分析法。例題2.已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列{an}的首項(xiàng).(1)求函數(shù)的表達(dá)式；⑵求證：；⑶求證：分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。解：⑴又∵為銳角∴∴∴⑵∵∴都大于0∴∴⑶∴∴∵,,又∵∴∴∴點(diǎn)評：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更

4、具有一般性。例題3.已知數(shù)列滿足（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：分析：本例（1）通過把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系；第（3）問關(guān)鍵在如何放縮解：（1），故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。，（2），①②②—①得，即③④④—③得，即所以數(shù)列是等差數(shù)列（3）設(shè)，則點(diǎn)評：數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。例題4.已知函數(shù),數(shù)列滿足,;數(shù)列滿足,.求證:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若則當(dāng)n≥2時,.分析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證

5、明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進(jìn)行放縮。解：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.（1）當(dāng)n=1時,由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時,因?yàn)?g(0)=0.因?yàn)?所以,即>0,從而(Ⅲ)因?yàn)?所以,,所以————①由(Ⅱ)知:,所以=,因

6、為,n≥2,所以<<=————②由①②兩式可知:.點(diǎn)評：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時應(yīng)引起注意。例題5.已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足=l，．(1)試比較與的大小，并說明理由；(2)設(shè)數(shù)列滿足=－，記Sn=．證明：當(dāng)n≥2時,Sn＜(2n－1)．分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解：(1)，因?yàn)樗裕?）因?yàn)樗?因?yàn)樗耘c同號，因?yàn)?，…，即?）當(dāng)時，，所以，所以點(diǎn)評：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。例題6.已知數(shù)列中，，．（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)；（3）設(shè)數(shù)列滿足，求證：分析：條件

7、中有類似于前n項(xiàng)和的形式出現(xiàn)，提示我們應(yīng)該考慮an＝Sn－Sn－1(n≥2)解：（1）（2）①②①—②得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：只需證若，則顯然成立;若，則所以,因此：所以,所以點(diǎn)評：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中,這種拆分方法是數(shù)學(xué)中較高要求的變形.例題7.已知不等式其中為不大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)。設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正且滿足，證明：，分析：由條件得：……以上各式兩邊分別相加得：=本題由題設(shè)條件