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《數(shù)列不等式證明專題課》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、數(shù)列不等式證明專題課一、證明數(shù)列不等式的基本方法：1、利用作差比較，作商比較2、利用基本不等式3、構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后借助函數(shù)的單調(diào)性4、放縮法（見(jiàn)第二點(diǎn)）5、數(shù)學(xué)歸納法（有專題課）xx?例1、設(shè)函數(shù)Fx()??ee，nn??12求證：F(1)(2)F?Fn()?(e?2)(n?N)．解：??FxFx()()12ex1?x2?e?(x1?x2)?ex1?x2?e?x1?x2?ex1?x2?e?(x1?x2)??2ex1?x2?2，n?1?F(1)()Fn?e?2，n?1F(2)(Fn?1)?e?2??
2、n?1FnF()(1)??e2.由此得，21nn?[(1)(2)FF??Fn()]?[(1)()][(2)(FFnFFn?1)][()(1)](eFnF??2)nn??12故F(1)(2)F?Fn()?(e?2)，n?N．1a例2、數(shù)列{xn}滿足：x11?a?0,xnn??(x?),n?N.2xn（1）證明：對(duì)n≥2，總有xa?；n（2）證明：對(duì)n≥2，總有xx?.nn?11a分析：（1）證明：由x1?a?0,及xn?1?(xn?)，可歸納證明xn?02xn從而有x?1(x?a)?x?a?a(n
3、?N)（均值不等式的應(yīng)用—n?1nn2xxnn綜合法），所以，當(dāng)n≥2時(shí)，x?a成立.n1a（2）證法一：當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)閤?a?0,x?(x?)，所nn?1n2xn2以1a1a?xn0x?x?(x?)?x???，故當(dāng)n≥2時(shí)，xn?xn?1n?1nnn2x2xnn成立.（作差比較法）1a證法二：當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)閤?a?0,x?(x?)，所以nn?1n2xn1a(x?)n222x2xx?ax?xn?1?n?n?nn?1，22xnxn2xn2xn故當(dāng)n≥2時(shí)，x?x成立.（作商比較法）nn?1點(diǎn)評(píng)：
4、此題是以數(shù)列為知識(shí)背景，把數(shù)列與不等式證明綜合起來(lái)，重點(diǎn)還是考查不等式證明方法中最基本的方法——綜合法和比較法。例3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?ax()a?R．（1）若對(duì)于任意的x?(?1,??)，f(x)?0恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；111（2）求證：(1?)(1?)?(1?)?e.2n2221（1）解：f?(x)??a，1?x1①當(dāng)a?0時(shí)，由?0，知f?(x)?0，f(x)在(?1,??)1?x單調(diào)遞增，而f(1)?ln2?2a?0，則f(x)?0不恒成立.1②當(dāng)a?0時(shí)，令f?(x)?
5、0，得x??1.a1當(dāng)x?(?1,?1)時(shí)，f(x)?0，f(x)單調(diào)遞增；a1當(dāng)x?(?1,??)時(shí)，f(x)?0，f(x)單調(diào)遞減，a1∴當(dāng)f(x)在x??1處取得最大值.a1由于f(0)?0，所以?1?0，得a?1，即當(dāng)且僅當(dāng)a?1a時(shí)f(x)?0恒成立.綜上，所求a的值為1.111（2）(1?)(1?)?(1?)?e等價(jià)于2n222111ln[(1?)(1?)?(1?)]?1，下證這個(gè)不等式成立.2n2221111由（1）知ln(1?)??0，即ln(1?)?，kkkk2222111111
6、ln[(1?)(1?)?(1?)]?ln(1?)?ln(1?)???ln(1?)2n2n22222211(1?)11122n1???????1??1.2n1n22221?2用函數(shù)不等式證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵在賦值轉(zhuǎn)化，本題第（2）問(wèn)的關(guān)鍵是兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后利用第（1）問(wèn)的結(jié)論證之。利用著名x的函數(shù)不等式?ln(xx?1)?(x?0)證明一些與“e”有關(guān)的數(shù)x?1列不等式，也是很常用的方法。講評(píng)周練6.題20（3）20.f?x??x?a?lnx?a?0?.(1)若a?1,求f?x?的單調(diào)區(qū)間及f?
7、x?的最小值；(2)若a?0,求f?x?的單調(diào)區(qū)間；222ln2ln3lnn(3)試比較????與22223n?n?1??2n?1????n?N且n?2的大小.，并證明你的結(jié)論.2?n?1?引申結(jié)論：二、放縮法證明與數(shù)列求和（或求積）有關(guān)的不等式的基本方法1、直接將數(shù)列求和后放縮*例4、已知nn??N,2,123nn?4求證：????...??3.23nn222222、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需要
8、，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。n*例5、已知an?2?1(?N).nn1aa12an*求證：????...?(n?N).23aaa23n?1證明：ka2?11111111k????????.,kn?1,2,...,,k??11kkkka2?122(2?1)23.2?2?2232k?1aaan1111n11n112n???...???(??...?)??(1?)??,2nnaaa232222322323n?1nn1aa12an
