.3-5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.ppt

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1、第五節(jié)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析項(xiàng)目?jī)?nèi)容教學(xué)目的掌握穩(wěn)定概念，能用勞斯判據(jù)或胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判穩(wěn)。教學(xué)重點(diǎn)用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性。教學(xué)難點(diǎn)兩種特殊情況的判穩(wěn)，勞斯判據(jù)的靈活運(yùn)用。講授技巧及注意事項(xiàng)練習(xí)為主。3-5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析在控制系統(tǒng)的分析研究中，最重要的問題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外界或內(nèi)部的一些因素?cái)_動(dòng)時(shí)，會(huì)使被控制量偏離原來的平衡工作狀態(tài)，并隨時(shí)間的推移而發(fā)散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。定義：如果線性定常系統(tǒng)受到擾動(dòng)的作用，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是漸進(jìn)

2、穩(wěn)定的（簡(jiǎn)稱為穩(wěn)定）。否則，稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。注意：穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，這種特性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用無關(guān)。一、穩(wěn)定的基本概念穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的示例圖a擺運(yùn)動(dòng)示意圖（穩(wěn)定系統(tǒng)）Af圖b不穩(wěn)定系統(tǒng)圖c小范圍穩(wěn)定系統(tǒng)dfcA物理意義上的穩(wěn)定概念根據(jù)上述穩(wěn)定性的定義，可以用函數(shù)作為擾動(dòng)來討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，輸入一個(gè)理想單位脈沖，這相當(dāng)于系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)下，受到一個(gè)擾動(dòng)信號(hào)的作用，如果當(dāng)t趨于∞時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)c(t)收斂到原來的零平衡狀態(tài)，即該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。數(shù)學(xué)意義上的穩(wěn)定概念假如單輸入單輸出線性

3、系統(tǒng)由下述的微分方程式來描述，即(1)則系統(tǒng)的穩(wěn)定性由上式左端決定，或者說系統(tǒng)穩(wěn)定性可按齊次微分方程式(2)來分析這時(shí)，在任何初始條件下，若滿足(3)則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。為了決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可求出式(2)的解。由數(shù)學(xué)分析知道，式(2)的特征方程式為設(shè)上式有q個(gè)實(shí)根-pi（i=1，2，…，q），r對(duì)共軛復(fù)數(shù)根(-ζkωk±jωk)(k=1，2，…，r)，q+2r=n，則齊次方程式解的一般式為五種運(yùn)動(dòng)模態(tài)j0j0j0j0j0*當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，則各瞬態(tài)分量都是衰減的，則有，此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。*如果特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上具有正實(shí)部，則

4、該根對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量是發(fā)散的，此時(shí)不成立，系統(tǒng)不穩(wěn)定。*如果特征根中具有一個(gè)或一個(gè)以上的零實(shí)部根，而其余的特征根均有負(fù)實(shí)部，則c(t)作等幅振蕩，這時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于為S平面的左半部分（不包括虛軸）。由以上討論可知：判穩(wěn)先求根。但是，對(duì)高階系統(tǒng)，在求根時(shí)將會(huì)遇到較大的困難。人們希望尋求一種不需要求根而能判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接方法，例如:直接用系數(shù)就可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而勞斯判據(jù)就是其中的一種。二、勞斯穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程1

5、、穩(wěn)定的必要條件思路：尋找直接用系數(shù)就可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的方法。的各項(xiàng)系數(shù)均為正，即將上式展開得特征根與特征方程系數(shù)的關(guān)系如下：(單根和)(雙根積和)(n根積和)(3根積和)只有當(dāng)所有根都位于左半平面，才能保證特征方程式的所有系數(shù)均為正。證明一：設(shè)方程有k個(gè)實(shí)根和r對(duì)共軛復(fù)數(shù)根只有當(dāng)所有根都位于左半平面，即，上式展開后，才能保證特征方程式的所有系數(shù)均為正。，則證明二：系統(tǒng)穩(wěn)定特征方程式所有根都位于左半平面特征方程式各項(xiàng)系數(shù)均為正由此可見，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正，即首先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都大于零，若有任何系數(shù)是負(fù)數(shù)

6、或等于零，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果滿足穩(wěn)定的必要條件時(shí)，再使用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定。分析穩(wěn)定性，首先分析必要條件2.勞斯判據(jù)(由勞斯表判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性)2.勞斯判據(jù)(由勞斯表判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性)勞斯表計(jì)算數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)五階Routh表的列寫方法舉例則Routh表為如果勞斯表中第一列的系數(shù)都具有相同的符號(hào)（正值），則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)等于勞斯表中第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。3.利用勞斯表判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性(三種情況)注意：a0>0（1）勞斯表第一列所有系數(shù)均不為零2例1：已知系統(tǒng)的特征方程如下,試用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性

7、。解列勞斯表勞斯表第一列的系數(shù)符號(hào)全為正，故系統(tǒng)穩(wěn)定。為簡(jiǎn)化運(yùn)算，常把勞斯表的某一行同乘以以一個(gè)正數(shù)后，再繼續(xù)運(yùn)算。本例中，勞斯表可按如下方法計(jì)算：1141061726758(同乘以6，實(shí)質(zhì)是不除6)791134（同乘以67，不除67）36900（同乘以791，不除791）134由于第一列系數(shù)的符號(hào)相同，故系統(tǒng)穩(wěn)定。例2：已知系統(tǒng)的特征方程，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。s4+2s3+s2+s+1=0解列勞斯表如下S4111S3210S2(2*1-1*1)/2=1/2(2*1－1*0)/2=1S1(1*1-2*2)/1=-3S0(-3*2-1*0

8、)/-3=2由于勞斯表第一列的系數(shù)變號(hào)兩次，一次由1/2變?yōu)椋?，另一次由－3變?yōu)?，特征方程有兩個(gè)根在S平面右半部分，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。