經(jīng)典方程的建立和定解條件課件

《經(jīng)典方程的建立和定解條件課件》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、在討論數(shù)學(xué)物理方程的解法以前，我們首先要弄清楚數(shù)學(xué)物理方程所研究的問題應(yīng)該怎樣提，為此，我們從兩方面來討論，一方面要將一個(gè)具體的物理、力學(xué)等自然科學(xué)問題化為數(shù)學(xué)問題，即建立描述某種物理過程的微分方程——數(shù)學(xué)物理方程，稱此方程為泛定方程；另一方面要把一個(gè)特定的物理現(xiàn)象本身所具有的具體條件用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來，即列出相應(yīng)的初始條件和邊界條件，兩者合稱為定解條件.定解條件提出具體的物理問題，泛定方程提供解決問題的依據(jù)，作為一個(gè)整體稱之為定解問題.第3章經(jīng)典方程的建立和定解條件經(jīng)典方程的導(dǎo)出步驟：確定出所要研究的是哪一個(gè)物理量2.用數(shù)學(xué)的“微元法”從所研究的系統(tǒng)中

2、分割出一小部分，再根據(jù)相應(yīng)的物理（力學(xué)）規(guī)律分析鄰近部分和這個(gè)小部分間的作用（抓住主要作用，略去次要因素，即高等數(shù)學(xué)中的抓主部，略去高階無窮小），這種相互作用在一個(gè)短的時(shí)間間隔是如何影響物理量3.把這種關(guān)系用數(shù)學(xué)算式（方程）表達(dá)出來，經(jīng)化簡整理就是所需求的數(shù)學(xué)物理方程.3．1經(jīng)典方程的建立1.弦的微小橫振動(dòng)考察一根長為且兩端固定、水平拉緊的弦．討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題．要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：確定弦的運(yùn)動(dòng)方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.（3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）要研究的物理量是什么

3、？弦沿垂直方向的位移注意：物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡化．?dāng)?shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點(diǎn)不能取在端點(diǎn)上，但可以取除端點(diǎn)之外的任何位置作為考察點(diǎn)．根據(jù)牛頓第二定律方向運(yùn)動(dòng)的方程可以描述為（9.1.1）作用于小段的縱向合力應(yīng)該為零：(9.1.2)僅考慮微小的橫振動(dòng)，夾角為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據(jù)級(jí)數(shù)展開式有即為（9.1.7）上式即為弦作微小橫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，簡稱為弦振動(dòng)方程．其中討論：（1）若設(shè)弦的重量遠(yuǎn)小于弦的張力，則上式(9.1.7)右端的重力加速度項(xiàng)可以忽略．由此得

4、到下列齊次偏微分方程：（9.1.8）稱式（9.1.8）為弦的自由振動(dòng)方程(2)如果在弦的單位長度上還有橫向外力作用，則式(9.1.8)應(yīng)該改寫為(9.1.9)式中稱為力密度，為時(shí)刻作用于處單位質(zhì)量上的橫向外力式（9.1.9）稱為弦的受迫振動(dòng)方程.9.2數(shù)學(xué)建模－熱傳導(dǎo)方程類型的建立9.2.1數(shù)學(xué)物理方程――熱傳導(dǎo)類型方程的建立1.熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)固體的熱傳導(dǎo)方程時(shí)，需要利用能量守恒定律和關(guān)于熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：時(shí)間內(nèi)，通過面積元流入小體積元的熱量與沿面積元外法線方向的溫度變化率成正比也與和成正比，即：（9.2.1）式中是導(dǎo)熱系數(shù)圖9.8

5、取直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖9.8表示t時(shí)刻物體內(nèi)任一點(diǎn)（x,y,z）處的溫度在dt時(shí)間內(nèi)通過ABCD面流入的熱量為同樣，在時(shí)間內(nèi)沿y方向和z方向流入立方體的熱量分別為在t到時(shí)間內(nèi)，小體積元的溫度變化是如果用和分別表示物體的密度和比熱，則根據(jù)能量守恒定律得熱平衡方程或?qū)懗?9.2.2)2.擴(kuò)散方程(9.2.3)其中將一維推廣到三維，即得到(9.2.4)上述方程與一維熱傳導(dǎo)方程具有完全類似的形式.若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源的強(qiáng)度為這時(shí)，擴(kuò)散方程應(yīng)為（9.2.5）從上面的推導(dǎo)可知，熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散這兩種不同的物理現(xiàn)象，但可以用同一類方程來描述.9.3數(shù)學(xué)建?！€(wěn)定

6、場(chǎng)方程類型的建立9.3.1數(shù)學(xué)建?！€(wěn)定場(chǎng)方程類型的建立1靜電場(chǎng)的電勢(shì)方程直角坐標(biāo)系中泊松方程為(9.3.1)若空間中無電荷，即電荷密度，上式成為(9.3.2)稱這個(gè)方程為拉普拉斯方程.2.穩(wěn)定溫度分布導(dǎo)熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時(shí)間變化故熱傳導(dǎo)方程中對(duì)時(shí)間的偏微分項(xiàng)為零，從而熱傳導(dǎo)方程（9.2.1)，(9.2.2)即為下列拉普拉斯方程和泊松方程.(9.3.3)(9.3.4)9.1.2波動(dòng)方程的定解條件定解條件：初始條件和邊界條件1.初始條件波動(dòng)方程含有對(duì)時(shí)間的二階偏導(dǎo)數(shù)，它給出振動(dòng)過程中每點(diǎn)的加速度．要確定振動(dòng)狀態(tài)，需知道開始時(shí)刻每點(diǎn)的位移和速

7、度．波動(dòng)方程的初始條件通常是（9.1.22）例9．1．1一根長為的弦，兩端固定于和,在距離坐標(biāo)原點(diǎn)為的位置將弦沿著橫向拉開距離，如圖9.5所示，然后放手任其振動(dòng)，試寫出初始條件。xuoblh圖9.5【解】初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移如圖所示2.邊界條件常見的線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值第二類邊界條件規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值（9.1.23）（9.1.24）第三類邊界條件規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值（9.1.25）其中是時(shí)間

8、的已知函數(shù)，為常系數(shù)．9.2.2熱傳導(dǎo)（或擴(kuò)散）方程的定解條件1初始條件熱傳導(dǎo)方