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《高等代數(shù)§6.5 線性子空間》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、一、線性子空間二、生成子空間§6.5線性子空間一、線性子空間1、線性子空間的定義設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，集合若W對(duì)于V中的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間,則稱W為V的一個(gè)線性子空間，簡(jiǎn)稱為子空間．注：①線性子空間也是數(shù)域P上一線性空間，它也②任一線性子空間的維數(shù)不能超過(guò)整個(gè)空間的有基與維數(shù)的概念.維數(shù).2、線性子空間的判定，若W對(duì)于V中兩種運(yùn)算封閉，即則W是V的一個(gè)子空間．定理：設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，集合推論：V為數(shù)域P上的線性空間,則W是V的子空間∵，∴.且對(duì)，由數(shù)乘運(yùn)算封閉，有，即W中元素的負(fù)元素就是
2、它在V中的負(fù)元素，4）成立．就是V中的零元，3）成立．由于，規(guī)則1）、2）、5）、6）、7）、8）是顯然成立的．下證3）、4）成立．由加法封閉，有,即W中的零元證明：要證明W也為數(shù)域P上的線性空間，即證W中的向量滿足線性空間定義中的八條規(guī)則．例2設(shè)V為所有實(shí)函數(shù)所成集合構(gòu)成的線性空間,則R[x]為V的一個(gè)子空間．例3P[x]n是P[x]的的線性子空間．例1設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，只含零向量的子集合 是V的一個(gè)線性子空間，稱之為V的零子空間．線性空間V本身也是V的一個(gè)子空間.這兩個(gè)子空間有時(shí)稱為平凡子空間，
3、而其它的子空間稱為非平凡子空間．的全部解向量所成集合W對(duì)于通常的向量加法和數(shù)①(＊)的解空間W的維數(shù)＝n－秩(A)，；例4n元齊次線性方程組(＊)注②(＊)的一個(gè)基礎(chǔ)解系就是解空間W的一組基.空間，稱W為方程組(＊)的解空間．量乘法構(gòu)成的線性空間是n維向量空間Pn的一個(gè)子例5判斷Pn的下列子集合哪些是子空間：解：W1、W3是Pn的子空間，W2不是Pn的子空間.若為Pn的子空間，求出其維數(shù)與一組基.事實(shí)上，W1是n元齊次線性方程組的解空間.所以，維W1＝n－1，①的一個(gè)基礎(chǔ)解系①就是W1的一組基.而在W2中任取兩個(gè)
4、向量 ，設(shè)則故W2不是Pn的子空間.故，W3為V的一個(gè)子空間，且維W3＝n－1，則有其次，設(shè)下證W3是Pn的子空間.就是W3的一組基.例6設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，則W關(guān)于V的運(yùn)算作成V的一個(gè)子空間．即 的一切線性組合所成集合.稱為V的由生成的子空間，二、一類重要的子空間 ——生成子空間定義：V為數(shù)域P上的線性空間，則子空間，記作．稱 為 的一組生成元.例7在Pn中，為Pn的一組基，即Pn由它的一組基生成.類似地，還有事實(shí)上，任一有限維線性空間都可由它的一組基生成.有關(guān)結(jié)論1、設(shè)W為
5、n維線性空間V的任一子空間，是W的一組基，則有2、（定理3）1）；為線性空間V中的兩組向量，則與等價(jià)．2）生成子空間的維數(shù)＝向量組的秩．證：1）若則對(duì)有 ，從而 可被線性表出；同理每一個(gè)也可被 線性表出.所以，與等價(jià)．，可被 線性表出，從而可被線性表出，即反之，與等價(jià)．所以,同理可得，故，由§3定理1，2）設(shè)向量組的秩＝t，不妨設(shè)為它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組．因?yàn)榕c等價(jià)，就是的一組基，所以，的維數(shù)＝t．無(wú)關(guān)組，則推論：設(shè) 是線性空間V中不全為零的一組向量， 是它的一個(gè)極大3、設(shè)
6、為P上n維線性空間V的一組基，則 的維數(shù)＝秩(A).A為P上一個(gè) 矩陣，若證：設(shè)秩(A)＝r，不失一般性，設(shè)A的前r列線性無(wú)關(guān)，并將這r列構(gòu)成的矩陣記為A1，其余s-r列構(gòu)成的矩陣記為A2，則A＝(A1,A2)，且秩(A1)＝秩(A)＝r，設(shè) 即下證 線性無(wú)關(guān).是V的一組基，又秩(A1)＝r，∴方程組②只有零解，即②線性無(wú)關(guān).從而任取將A的第j列添在A1的右邊構(gòu)成的矩陣記為Bj，則則有即設(shè)從而有③而秩(Bj)＝r，∴③有非零解，故有不全為零的數(shù)故 為
7、 的極大無(wú)關(guān)組，所以 的維數(shù)＝r＝秩(A).線性相關(guān).則向量組 與矩陣A的列向量組具有相同線性相關(guān)性.所以可對(duì)矩陣A作初等行變換化階梯陣來(lái)求向量組 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，從而求出生成子空間 的維數(shù)與一組基.注：由證明過(guò)程可知，若 為V的一組基，為V的一組基．即在V中必定可找到n－m個(gè)向量設(shè)W為n維線性空間V的一個(gè)m維子空間，4、（定理4）為W的一組基，則這組向量必定可擴(kuò)充，使為V的一組基．?dāng)U基定理證明：對(duì)n－m作數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)n－m＝0時(shí)，即n＝m，定理成立．就是V的
8、一組基.假設(shè)當(dāng)n－m＝k時(shí)結(jié)論成立.因n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，下面我們考慮n－m＝k＋1的情形．必定是線性無(wú)關(guān)的．既然 還不是V的一組基，它又是線性無(wú)關(guān)的，那么在V中必定有一個(gè)向量 不能被線性表出，把它添加進(jìn)去，則由定理3，子空間是m＋1維的．可以擴(kuò)充為整個(gè)空間V的一組基．由歸納原理得證.由歸納假設(shè)，的基它擴(kuò)充為P4的一組基，其中例8
