高等代數(shù)§9.5 子空間

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1、一、正交子空間§9.5子空間二、子空間的正交補(bǔ)一、歐氏空間中的正交子空間1．定義：1)與是歐氏空間V中的兩個子空間，如果對則稱子空間與為正交的，記作則稱向量　與子空間　正交，記作恒有2)對給定向量　如果對　　恒有注：①當(dāng)且僅當(dāng)　中每個向量都與　正交．②③當(dāng)　　且　　時，必有證明：設(shè)子空間　　　兩兩正交，2．兩兩正交的子空間的和必是直和．要證明中零向量分解式唯一．只須證：設(shè)由內(nèi)積的正定性，可知二、子空間的正交補(bǔ)1．定義：如果歐氏空間V的子空間　滿足　　　　并且則稱　為　的正交補(bǔ).2．維歐氏空間V的

2、每個子空間　都有唯一正交補(bǔ).證明：當(dāng)時，V就是的唯一正交補(bǔ)．當(dāng)　時，　也是有限維歐氏空間.取的一組正交基由定理1，它可擴(kuò)充成V的一組正交基記子空間顯然,又對即為的正交補(bǔ).再證唯一性.設(shè)是的正交補(bǔ)，則由此可得對由上式知即有又從而有即有同理可證唯一性得證.②維歐氏空間V的子空間W滿足:①子空間W的正交補(bǔ)記為　　　即i)ii)iii)注：ⅳ)W的正交補(bǔ)必是W的余子空間.但一般地，子空間W的余子空間未必是其正交補(bǔ).稱　為　在子空間W上的內(nèi)射影.3．內(nèi)射影設(shè)W是歐氏空間V的子空間，由對有唯一的　　　　　　

3、　　使

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