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《高等代數(shù)課件(北大版)第六章 線性空間§6.5》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、§2線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)§3維數(shù)·基與坐標(biāo)§4基變換與坐標(biāo)變換§1集合·映射§5線性子空間§7子空間的直和§8線性空間的同構(gòu)§6子空間的交與和小結(jié)與習(xí)題第六章線性空間2021/7/22數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、線性子空間二、生成子空間§6.5線性子空間2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、線性子空間1、線性子空間的定義設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，集合若W對(duì)于V中的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間,則稱W為V的一個(gè)線性子空間，簡(jiǎn)稱為子空間．注：①線性子空間也是數(shù)域P上一線性空間，它也②
2、任一線性子空間的維數(shù)不能超過整個(gè)空間的有基與維數(shù)的概念.維數(shù).2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2、線性子空間的判定，若W對(duì)于V中兩種運(yùn)算封閉，即則W是V的一個(gè)子空間．定理：設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，集合推論：V為數(shù)域P上的線性空間,則W是V的子空間2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院∵，∴.且對(duì)，由數(shù)乘運(yùn)算封閉，有，即W中元素的負(fù)元素就是它在V中的負(fù)元素，4）成立．就是V中的零元，3）成立．由于，規(guī)則1）、2）、5）、6）、7）、8）是顯然成立的．下證3）、4）
3、成立．由加法封閉，有,即W中的零元證明：要證明W也為數(shù)域P上的線性空間，即證W中的向量滿足線性空間定義中的八條規(guī)則．2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例2設(shè)V為所有實(shí)函數(shù)所成集合構(gòu)成的線性空間,則R[x]為V的一個(gè)子空間．例3P[x]n是P[x]的的線性子空間．例1設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，只含零向量的子集合 是V的一個(gè)線性子空間，稱之為V的零子空間．線性空間V本身也是V的一個(gè)子空間.這兩個(gè)子空間有時(shí)稱為平凡子空間，而其它的子空間稱為非平凡子空間．2021/7/22§6.5線
4、性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院的全部解向量所成集合W對(duì)于通常的向量加法和數(shù)①(＊)的解空間W的維數(shù)＝n－秩(A)，；例4n元齊次線性方程組(＊)注②(＊)的一個(gè)基礎(chǔ)解系就是解空間W的一組基.空間，稱W為方程組(＊)的解空間．量乘法構(gòu)成的線性空間是n維向量空間Pn的一個(gè)子2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例5判斷Pn的下列子集合哪些是子空間：解：W1、W3是Pn的子空間，W2不是Pn的子空間.若為Pn的子空間，求出其維數(shù)與一組基.事實(shí)上，W1是n元齊次線性方程組的解空間.所以，維W1＝n
5、－1，①的一個(gè)基礎(chǔ)解系①2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院就是W1的一組基.而在W2中任取兩個(gè)向量 ，設(shè)則故W2不是Pn的子空間.2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院故，W3為V的一個(gè)子空間，且維W3＝n－1，則有其次，設(shè)下證W3是Pn的子空間.就是W3的一組基.2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例6設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，則W關(guān)于V的運(yùn)算作成V的一個(gè)子空間．即 的一切線性組合所成集合.2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與
6、計(jì)算科學(xué)學(xué)院稱為V的由生成的子空間，二、一類重要的子空間 ——生成子空間定義：V為數(shù)域P上的線性空間，則子空間，記作．稱 為 的一組生成元.2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例7在Pn中，為Pn的一組基，即Pn由它的一組基生成.類似地，還有事實(shí)上，任一有限維線性空間都可由它的一組基生成.2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院有關(guān)結(jié)論1、設(shè)W為n維線性空間V的任一子空間，是W的一組基，則有2、（定理3）1）；為線性空間V中的兩組向量，則與等價(jià)．2）生成
7、子空間的維數(shù)＝向量組的秩．2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院證：1）若則對(duì)有 ，從而 可被線性表出；同理每一個(gè)也可被 線性表出.所以，與等價(jià)．，可被 線性表出，從而可被線性表出，即反之，與等價(jià)．2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院所以,同理可得，故，由§3定理1，2）設(shè)向量組的秩＝t，不妨設(shè)為它的一個(gè)極大無關(guān)組．因?yàn)榕c等價(jià)，就是的一組基，所以，的維數(shù)＝t．2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院無關(guān)組，則推論：設(shè) 是線性空間V中不全
8、為零的一組向量， 是它的一個(gè)極大3、設(shè) 為P上n維線性空間V的一組基，則 的維數(shù)＝秩(A).A為P上一個(gè) 矩陣，若2021/7/22§6.5線性子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院證：設(shè)秩(A)＝r，不失一般性，設(shè)A的前r列線性無關(guān)，并將這r列構(gòu)成的矩陣記為A1，其余s-r列構(gòu)成的矩陣記為A2，則A＝(A1,A2)，且秩(A1)＝秩(A)＝r，設(shè) 即下證 線性無關(guān).2021/7/22§6.5線性子
