隨機(jī)過程的數(shù)字特征

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1、二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征定義6.3.1設(shè)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)為，我們稱分別為隨機(jī)過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。對離散型的隨機(jī)過程，其均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)分別為：其中：對連續(xù)型的隨機(jī)過程，其均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)分別為：均值函數(shù)和方差函數(shù)刻劃了隨機(jī)過程在不同時刻的統(tǒng)計特性，但不能描述在不同時刻之間的相互關(guān)系，因此我們必須引入自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)概念。定義6.3.2設(shè)隨機(jī)過程的二維分布函數(shù)為，我們稱其自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)分別為：且：若令，則由此可以看出：均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)是最基本的數(shù)字特征，協(xié)方差函數(shù)和方差函數(shù)可以

2、由它們確定。在隨機(jī)過程理論中，僅研究均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)的理論稱為相關(guān)理論。一般地，相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)均與時間有關(guān)。若令，則：以上兩式說明和不僅與時間間隔有關(guān)，且與起點(diǎn)有關(guān)。當(dāng)和僅與有關(guān)而與無關(guān)時，稱這類隨機(jī)過程為平穩(wěn)過程。例6.3.1設(shè)是周期為的矩形波，隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布令，，則：是具有隨機(jī)振幅，周期為的矩形波過程，求的數(shù)字特征。解：例6.3.2已知隨機(jī)相位正弦波，其中，為在上服從均勻分布的隨機(jī)變量。求隨機(jī)過程的、和一維分布密度函數(shù)。解：由在上服從均勻分布得：則：利用隨機(jī)過程的分布密度公式則：則：例6.3

3、.3設(shè)隨機(jī)過程定義為：若隨機(jī)點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)偶數(shù)次，則；若出現(xiàn)奇數(shù)次，則。又設(shè)內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)出現(xiàn)次的概率與無關(guān)，且有：求和。解：由內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)出現(xiàn)次，互不相容，故：在內(nèi)出現(xiàn)偶數(shù)次，即同理：即：則：為求的相關(guān)函數(shù)，先求，的聯(lián)合分布。其中設(shè)：，，則：同理：則：其中當(dāng)，同理可得：則對，有：。在實(shí)際問題中，除考慮一個隨機(jī)過程在不同時刻的性質(zhì)外，還須考慮兩個不同的隨機(jī)過程之間的關(guān)系。例如，通信系統(tǒng)中信號過程與干擾過程之間的關(guān)系，此時，我們必須引入互協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)來描述它們之間的關(guān)系。定義6.3.3設(shè)隨機(jī)過程，是兩個隨機(jī)過程

4、，則稱其互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)分別為：且特別地，對任意的，有，則稱隨機(jī)過程，互不相關(guān)；若，則稱隨機(jī)過程，相互正交。例6.3.4設(shè)有兩個隨機(jī)過程和，其中和都是周期為L的周期方波，ε是在上服從均勻分布的隨機(jī)變量，求互相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式。解：由定義：令，利用和的周期性，則：三、復(fù)隨機(jī)過程工程中，常把隨機(jī)過程表示為復(fù)數(shù)形式來進(jìn)行研究，因此我們下面簡單介紹復(fù)隨機(jī)過程的概念和數(shù)字特征。定義6.3.4設(shè)隨機(jī)過程，是取實(shí)數(shù)值的兩個隨機(jī)過程，若對，則稱為復(fù)隨機(jī)過程。定義6.3.5當(dāng)和為實(shí)隨機(jī)過程時，則均值函數(shù)、方差函數(shù)、相關(guān)函

5、數(shù)和協(xié)方差函數(shù)的定義如下：定理6.3.2復(fù)隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)具有如下性質(zhì)：（1）對稱性：（2）非負(fù)定性：對任意的及復(fù)數(shù)，有：證明：（1）（2）