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1、第二章隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征從上面的分析可知，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)，要研究它的變化規(guī)律，常常需要建立起它的“函數(shù)關(guān)系”，也就是建立隨機(jī)過(guò)程的多維分布。因?yàn)殡S機(jī)過(guò)程X(t)的多維分布可以比較全面地描述隨機(jī)過(guò)程的整個(gè)變化規(guī)律的統(tǒng)計(jì)特性，但要建立過(guò)程的分布函數(shù)一般比較復(fù)雜，使用也不便，甚至不可能。怎么辦呢？事實(shí)上，在許多實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)隨機(jī)過(guò)程的“函數(shù)關(guān)系”不好確定時(shí)，我們往往可以退而求其次，像引入隨機(jī)變量的數(shù)字特征一樣，引入隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征。用這些數(shù)字特征我們認(rèn)為基本上能刻劃隨機(jī)過(guò)程變化的重要統(tǒng)計(jì)規(guī)律
2、，而且用隨機(jī)過(guò)程的X(t)的數(shù)字特征，又便于運(yùn)算和實(shí)際測(cè)量。顯然，對(duì)于隨機(jī)變量X，它的的數(shù)字特征我們主要介紹了數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)函數(shù)來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程X(t)的主要統(tǒng)計(jì)特性。例2.1設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度求解：∵∴∴注意：隨機(jī)變量的數(shù)字特征計(jì)算結(jié)果是一個(gè)確定的數(shù)。而隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征不是數(shù)，是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的確定函數(shù)。§2.1隨機(jī)過(guò)程X(t)的數(shù)學(xué)期望對(duì)于某個(gè)給定時(shí)刻t，隨機(jī)過(guò)程成為一個(gè)隨機(jī)變量，因此可按通常隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望方法來(lái)定義隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望。定義X(t)的數(shù)學(xué)期望式中，是X(t)的一維
3、概率密度函數(shù)。又可稱為X(t)的均值，這個(gè)均值函數(shù)可以理解為在某一給定時(shí)刻t隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)的平均值。如圖2.1所示。圖2.1隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望mX(t)顯然由圖2.1可看出，隨機(jī)過(guò)程X(t)就在附近起伏變化，圖中細(xì)線表示樣本函數(shù)，粗線表示均值函數(shù)。如果我們計(jì)論的隨機(jī)過(guò)程是接收機(jī)輸出端的一條噪聲電壓，這個(gè)就是噪聲電壓在某一瞬時(shí)t的統(tǒng)計(jì)平均值（又稱集平均值）?！?.2隨機(jī)過(guò)程的均勻方值與方差對(duì)于某一固定的時(shí)刻，隨機(jī)過(guò)程X(t)就成為一個(gè)隨機(jī)變量，由此可給出隨機(jī)過(guò)程均方值定義。定義隨機(jī)過(guò)程X(t
4、)的均方值：式中，的一維概率密度函數(shù)。定義隨機(jī)過(guò)程的方差（又可稱二階中心矩）：顯然是關(guān)于t的函數(shù)，且為非負(fù)函數(shù)。定義隨機(jī)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)離差：注：隨機(jī)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差是表示了隨機(jī)過(guò)程在t時(shí)刻偏離均值的程度大小，如圖2.2所示。圖2.2§2.3隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望、方差描述了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立時(shí)刻的重要數(shù)字特征值，但它們不能反映隨機(jī)過(guò)程的內(nèi)在聯(lián)系，這一點(diǎn)可以通過(guò)下圖的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)、Y(t)來(lái)說(shuō)明。對(duì)于這兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，從直觀上講，它們都具有大致相同的數(shù)學(xué)期望和方差，但兩個(gè)過(guò)程的內(nèi)部結(jié)構(gòu)
5、卻有著非常明顯的差別，其中X(t)隨機(jī)時(shí)間變化緩慢，這個(gè)過(guò)程在兩個(gè)不同的時(shí)刻的狀態(tài)之間有著較強(qiáng)的相關(guān)性，而過(guò)程Y(t)的變化要急劇得多，其不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的相關(guān)性，顯然很弱。怎樣去研究和反映一個(gè)隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻的內(nèi)在聯(lián)系呢？為此我們引入自相關(guān)函數(shù)（簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)）來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系。定義隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)：這就是隨機(jī)過(guò)程X(t)在兩個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的混合原點(diǎn)矩，自相關(guān)函數(shù)就反映了X(t)在兩個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的相關(guān)程度。若在定義式中取，則有此時(shí)自相關(guān)函數(shù)即為均
6、方值。式中，為過(guò)程X(t)的二維概率密度函數(shù)。例2.2求隨機(jī)相位正弦波過(guò)程的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)，其中的概率密度為解：當(dāng)取定是一個(gè)隨機(jī)變量，且該隨機(jī)變量X(t)顯然是隨機(jī)變量的函數(shù)。由求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理，有又∵當(dāng)令，例2.3給定隨機(jī)過(guò)程，式中是常數(shù)，A和B是兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，而且，試求X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)。解∵，且A，B獨(dú)立∴當(dāng)取定t時(shí)，X(t)為隨機(jī)變量有時(shí)為了描述隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)不同時(shí)刻t1、t2間內(nèi)在聯(lián)系，我們還可以用協(xié)方差函數(shù)中心化自相關(guān)函數(shù)來(lái)定義。定義協(xié)方差函數(shù)
7、：稱為隨機(jī)過(guò)程X(t)的協(xié)方差函數(shù)。由定義可知，當(dāng)取∴此時(shí)的協(xié)方差就是方差。注意，實(shí)際上自相關(guān)函數(shù)所描述的特性是幾乎一致的。性質(zhì)2.1證∵從上式分析可知，隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)與其自相關(guān)函數(shù)只差一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值，特別當(dāng)隨機(jī)過(guò)程的任意時(shí)刻數(shù)學(xué)期望時(shí)，二者完全相同?！?.4兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之間的互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)描述了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程本身的內(nèi)在聯(lián)系，而要描述兩個(gè)過(guò)程在不同時(shí)刻之間的相互關(guān)系，我們引入了互相關(guān)函數(shù)的定義。定義互相關(guān)函數(shù)：稱為兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)。式中：為在兩個(gè)不同時(shí)刻隨機(jī)變量、的聯(lián)合
8、概率密度函數(shù)。定義互協(xié)方差函數(shù)：稱為兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互協(xié)方差函數(shù)。性質(zhì)2.2在上式中，若對(duì)任意都有則稱X(t)，Y(t)為正交過(guò)程，此時(shí)在上式中，若，又稱X(t)，Y(t)互不相關(guān)；此時(shí)推論：若兩個(gè)隨機(jī)獨(dú)立，則它們必不相關(guān)。反之，兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程不相關(guān)，還不能斷言它們的相互獨(dú)立。（除非是正態(tài)過(guò)程）。注：自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)、協(xié)議差函數(shù)其結(jié)果是數(shù)，而不再是一個(gè)過(guò)程。習(xí)題二若隨機(jī)過(guò)程X(t)為X(t)=At，式中A為（0,1）上均勻分布的隨機(jī)變量，求給定一隨機(jī)過(guò)程X(t)和常數(shù)a，試以X(
