高中-數(shù)學(xué)最值問題

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1、~最值問題一、點(diǎn)擊高考　　最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它分布在各塊知識(shí)點(diǎn)，各個(gè)知識(shí)水平層面。以最值為載體，可以考查中學(xué)數(shù)學(xué)的所有知識(shí)點(diǎn)，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等諸多數(shù)學(xué)思想和方法，還可以考查學(xué)生的思維能力、實(shí)踐和創(chuàng)新能力。因此，它在高考中占有比較重要的地位。　　回顧近幾年高考，從題型分布來看，大多數(shù)一道填空或選擇題，一道解答題；從分值來看，約占總分的10%左右。特別是2003年北京卷，選擇、填空題各一道，解答題有兩道，總分值有36分之多；2003年上海卷，填空題各一道，解答題有兩道，總分值有36分之多

2、；2003年上海卷，填空題一道，解答題也是兩道，總分值有近30分，兩份試卷中均有一道實(shí)際應(yīng)用問題?！　∮纱丝磥?，最值問題雖然是老問題，但一直十分活躍，尤其導(dǎo)數(shù)的引入，更是為最值問題的研究注入了新的活力?！　】梢灶A(yù)見：2005年的高考命題中，有關(guān)最值問題，題型、題量、分值將保持穩(wěn)定，題目的背景會(huì)更貼近學(xué)生的實(shí)際生活，更關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)問題，難度不會(huì)太難。二、考點(diǎn)回顧:分析已有考法，最值問題的呈現(xiàn)方式一般有以下幾種：1、函數(shù)的最值；2、學(xué)科內(nèi)的其它最值，如三角形的面積最值問題、幾何體的體積最值問題、數(shù)列的最大項(xiàng)等等；3、字母的

3、取值范圍；4、不等式恒成立問題，常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，例如：　　f(x)≥0對(duì)x∈R恒成立f(x)的最小值≥0成立，　　f(x)≤0對(duì)x∈R恒成立f(x)的最大值≤0成立；5、實(shí)際應(yīng)用問題：　　實(shí)際應(yīng)用問題中，最優(yōu)化問題占的比例較大，通過建?？苫癁樽钪祮栴}。這類題已成為這幾年高考的熱點(diǎn)?？梢钥隙?，這個(gè)熱度會(huì)繼續(xù)保持。~~~~三、知識(shí)概要1、求函數(shù)最值的方法：“數(shù)”和“形”，數(shù)形結(jié)合：　　　　　　　　　　　配方法　　　　　　　直接法　均值不等式法　　　　　　　　　　　單調(diào)性　　代數(shù)方法　　　　　導(dǎo)數(shù)法　　　　　　　　　

4、　　判別式法　　　　　　　間接法　　　　　　　　　　　有界性　　　　　　　函數(shù)的圖像　　　　　　　平面幾何知識(shí)　　幾何方法　　　　　　線性規(guī)劃　　　　　　　　　　　　解析幾何　斜率　　　　　　　　　　　　兩點(diǎn)間距離2、求幾類重要函數(shù)的最值方法；（1）二次函數(shù)：配方法和函數(shù)圖像相結(jié)合；（2）:均值不等式法和單調(diào)性加以選擇；（3）多元函數(shù)：數(shù)形結(jié)合成或轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)。3、實(shí)際應(yīng)用問題中的最值問題一般有下列三種模型：　　　　　能直接判斷　　　　　　　　　　　線性規(guī)劃　　　　　建立目標(biāo)函數(shù)　　　　　　　　　　　　　曲函數(shù)的最值

5、四、典型例題分析函數(shù)的最值例1(2002·全國卷·理·21)設(shè)a為實(shí)數(shù)，，（1）討論的奇偶性；~~~~（2）求的最小值。【考查目的】本題主要考查函數(shù)的概念，函數(shù)的概念，函數(shù)的奇偶性和分段函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論的思路和邏輯思維能力?！纠}詳解】(1)解法一：常規(guī)思路：利用定義。＋，若都不成立，故不是奇函數(shù)；若為偶函數(shù)，則，即＋此等式對(duì)恒成立，只能是.故時(shí)，為偶數(shù)；時(shí)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。解法二：從特殊考慮：又，故不可能是奇函數(shù)。若，則，為偶函數(shù)；若，則，知，故在時(shí)，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。（2）當(dāng)時(shí)，

6、，由二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)知：若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在上的最小值為；若，函數(shù)在上的最小值為，且。~~~~當(dāng)時(shí)，函數(shù)。若，函數(shù)在上的最小值為，且；若，函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)函數(shù)在上的最小值為。綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是?！咎貏e提示】1．研究函數(shù)奇偶性的關(guān)鍵是考察函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱以及與是否具有相等或相反的關(guān)系；或從特殊情形去估計(jì)，再加以驗(yàn)證。2．二次函數(shù)的最值解，一般借助于二次函數(shù)的圖像，考察圖像的對(duì)稱軸與所給定義域區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系不確定，則需分類討論

7、。3．本題根據(jù)絕對(duì)值的定義去絕對(duì)值后，變形為分段函數(shù)，分段函數(shù)的最值，有些同學(xué)概念不清，把每段函數(shù)的最小值都認(rèn)為是整個(gè)函數(shù)的最小值，從而出現(xiàn)了一個(gè)函數(shù)有幾個(gè)最小值的錯(cuò)誤結(jié)論。例2、已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若對(duì)任意恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍?！究疾炷康摹勘绢}考查求函數(shù)的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函數(shù)單調(diào)性，二次函數(shù)的配方法，考查不等式恒成立問題以及轉(zhuǎn)化化歸思想?！纠}詳解】（1）當(dāng)時(shí)，?！　。　?。~~~~　　在區(qū)間上為增函數(shù)?！　≡趨^(qū)間上的最小值為。（2）在區(qū)間上恒成立；　　在區(qū)間上恒成立

8、；　　在區(qū)間上恒成立；　　函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3　　即　　【特別提示】1．第（1）題中，這類函數(shù)，若，則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號(hào)是否成立，即用均值不等式來求最值時(shí)，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。2．不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。例3、設(shè)P為圓+=1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值為＿＿＿＿