初中數(shù)學(xué)“最值問題”

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1、LYR(2010-09-23)“最值問題”集錦?平面幾何中的最值問題01?幾何的定值與最值07?最短路線問題14?對(duì)稱問題18?巧作“對(duì)稱點(diǎn)”妙解最值題22?數(shù)學(xué)最值題的常用解法26?求最值問題29?有理數(shù)的一題多解34?4道經(jīng)典題37?平面幾何中的最值問題在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和最小值的問題，有時(shí)它和不等式聯(lián)系在一起，統(tǒng)稱最值問題.如果把最值問題和生活中的經(jīng)濟(jì)問題聯(lián)系起來，可以達(dá)到最經(jīng)濟(jì)、最節(jié)約和最高效率.下面介紹幾個(gè)簡(jiǎn)例.在平面幾何問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量(如線段的長(zhǎng)度

2、、圖形的面積、角的度數(shù))的最大值或最小值問題，稱為最值問題。最值問題的解決方法通常有兩種：(1)應(yīng)用幾何性質(zhì)：①三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；②兩點(diǎn)間線段最短；③連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；④定圓中的所有弦中，直徑最長(zhǎng)。⑵運(yùn)用代數(shù)證法：①運(yùn)用配方法求二次三項(xiàng)式的最值；②運(yùn)用一元二次方程根的判別式。例1、A、B兩點(diǎn)在直線1的同側(cè)，在直線L上取一點(diǎn)P,使PA+PB最小。所以2R2-x2變式兩屋舀軸生直歛的兩側(cè)，在直線匸/卵;列分析：在直線L上任取一點(diǎn)P，，連結(jié)AP，

3、,BP，,在△ABP'中AP，+BP'>AB,如果AP，+BP'=AB,則P'必在線段AB上，而線段AB與直線L無交點(diǎn)，所以這種思路錯(cuò)誤。取點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A',則AP'=AP,在AA，BP中A，P，+B，P，>A,B,當(dāng)P，移到A，B與直線L的交點(diǎn)處P點(diǎn)時(shí)A，p，+b，p，=a‘B,所以這時(shí)PA+PB最小。1已知AB是半圓的直徑，如果這個(gè)半圓是一塊鐵皮，ABDC是內(nèi)接半圓的梯形，試問怎樣剪這個(gè)梯形，才能使梯形ABDC的周長(zhǎng)最大(圖3-91)?'R-^0EB圖3-91分析本例是求半圓AB的內(nèi)接梯形的最大周長(zhǎng)

4、，可設(shè)半圓半徑為R.由于AB〃CD,必有AC=BD.若設(shè)CD=2y,AC=x,那么只須求梯形ABDC的半周長(zhǎng)u=x+y+R的最大值即可.解作DE丄AB于E,則x2=BD2=AB?BE=2R?(R-y)=2R-2Ry,/+2Ib<+2R所以求u的最大值，只須求-x2+2Rx+2R2最大值即可.-x2+2Rx+2R2=3R-(x-R)2^3R2,上式只有當(dāng)x二R時(shí)取等號(hào)，這時(shí)有2R2-x22R2-R2R廠P所以2y二R二x?所以把半圓三等分，便可得到梯形兩個(gè)頂點(diǎn)C,D,這時(shí)，梯形的底角恰為60°和120°?2?如圖3

5、-92是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶，如果窗戶的周長(zhǎng)為8米（in）,怎樣才能得出最大面積，使得窗戶透光最好？S3-92分析與解設(shè)x表示半圓半徑，y表示矩形邊長(zhǎng)AD,則必有2x+2y+nx=8,若窗戶的最大面積為s,則S=2xy+g%x2?把①代入②有8-7cx-2x1、S=2x?+—22=8x-%x2-2x2+］磁224+x24+兀丿324+兀324+兀上式中，只有x=—時(shí)，等號(hào)成立.這時(shí)，由①有4+兀84+兀即當(dāng)窗戶周長(zhǎng)一定時(shí)，窗戶下部矩形寬恰為半徑時(shí)，窗戶面積最大.3.已知P點(diǎn)是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試問P在什么位置時(shí)

6、，PA+PB最大（圖3-93）?分析與解因?yàn)镻點(diǎn)是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P近于A或B時(shí)，顯然PA+PB漸小，在極限狀況（P與A重合時(shí)）等于AB.因此，猜想P在半圓弧中點(diǎn)時(shí)，PA+PB取最大值.設(shè)P為半圓弧中點(diǎn)，連PB,PA,延長(zhǎng)AP到C,使PC二PA,連CB,則CB是切線.為了證PA+PB最大，我們?cè)诎雸A弧上另取一點(diǎn)P'，連P‘A,P‘B,延長(zhǎng)AP'到C',使P‘Cz二BP'，連C1B,CCf,則ZP‘C‘B=ZPfBC二ZPCB二45°,所以A,B,Cf,C四點(diǎn)共圓，所以ZCCfA二ZCBA二90°,所以在△ACC'

7、中，AC>AC‘，即PA+PB>P‘A+P，B.4如圖3-94,在直角厶他。中，AD是斜邊上的高，M,N分別是AABD,AACD的內(nèi)心，直線MN交AB,AC于K,L.求證：Saabc^2SAakl?證連結(jié)AM,BM,DM,AN,DN,CN?因?yàn)樵贏ABC中，ZA=90°,AD丄BC于D,所以ZABD二ZDAC,ZADB二ZADC二90°?因?yàn)镸,N分別是AABD和AACD的內(nèi)心，所以所以所以Z1=Z2=45°,Z3=Z4,AADN^ABDM,DM_BDDN=AB*又因?yàn)閆MDN=90°=ZADB,所以△MDNs^

8、BDA,所以ZBAD二ZMND?由于ZBAD=ZLCD,所以ZMND二ZLCD,所以D,C,L,N四點(diǎn)共圓，所以ZALK二ZNDC二45°?所以AK二AD二AL.而of：乜ABSC,S^=-AD*AL=-AD2,同理，ZAKL二Z1二45°,所以AK二AL.因?yàn)锳AKM竺AADM,而AC2AB2AD2BC2AC??皿=AB2+AC2從而*AB?AC，ACAB2+AC2”1