淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

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1、淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用李曼（宿州市宿州學(xué)院附屬實驗中學(xué)，安徽宿州234000）摘要：數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的一種基本思想，它具備直觀、形象、簡捷等諸多優(yōu)點。數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。”通過數(shù)形的相互轉(zhuǎn)化，將幾何問題用代數(shù)的方法處理、或者通過幾何圖形來解決代數(shù)問題，不僅能夠?qū)Ω咧猩臄?shù)學(xué)知識進(jìn)行整合，還能夠增強(qiáng)對他們的創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)效率：G633：A：利用和“數(shù)”的精確性和“形”的直觀性相結(jié)合往往可以化解解題難點，將復(fù)雜的圖形問題轉(zhuǎn)化為簡捷的數(shù)量問題，即使問題由復(fù)雜變得簡單、抽象變得具體，進(jìn)而便于學(xué)生們的接收和理解。由

2、此可見，數(shù)形結(jié)合思想具備強(qiáng)大的功能，能夠在高中數(shù)學(xué)解題中扮演重要的角色。本文首先對數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行了略要的概述，進(jìn)而結(jié)合一些實例詳細(xì)地闡述了數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。一、數(shù)形結(jié)合思想的含義理解“數(shù)”是抽象的、感知的，體現(xiàn)的是數(shù)量關(guān)系；而“形”直觀的、思維的，體現(xiàn)的是空間形式?！皵?shù)”和“形”這兩者在現(xiàn)實的世界里是不可分分割的，而在高中數(shù)學(xué)中，這兩個基本概念構(gòu)成了基石。當(dāng)前，高中數(shù)學(xué)的研究對象正是現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，它的發(fā)展也是圍繞“數(shù)”和“形”這兩個概念的提煉、演變、發(fā)展而發(fā)展的。由于兩者內(nèi)容上存在著相互聯(lián)系，方法上也存在著相互滲透，因而兩者能夠在一定條

3、件下相互轉(zhuǎn)化。二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實例（一）數(shù)形結(jié)合思想在集合中的應(yīng)用集合是高中數(shù)學(xué)的基本知識，是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)其它知識的基礎(chǔ)。集合這一知識點無論是在交集、并集、補(bǔ)集等諸多內(nèi)在關(guān)系上，還是在它的外在表達(dá)式上，都蘊(yùn)含了圖形的意味。這也在某種程度上體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)理念和初中數(shù)學(xué)的不同。實例1假設(shè)有兩個集合分別為M＝{(x，y)

4、x2+y2＝1，x∈R，y∈R}，N＝{(x，y)

5、x2-y＝0，x∈R，y∈R}，則集合M∩N中元素的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4答案：B分析：通常，假如采用單純的數(shù)量關(guān)系的解法一般過程如下。將兩個方程x2+y2＝1，x2－y＝0進(jìn)

6、行聯(lián)立形成一個方程組，解之將會得到x4+x2-1=0，盡管這樣可以解出x的值，從而可以再推出y的值，但是這樣耗費(fèi)的時間比較多。倘若我們采用數(shù)形結(jié)合的方式，問題便可以迎刃而解。通過仔細(xì)觀察和比對，可以得出方程x2+y2＝1可以表示圓，方程x2－y＝0代表的是拋物線，那么實例1中的問題可以轉(zhuǎn)化為方程x2+y2＝1所代表的圓和方程x2－y＝0表示的拋物線交點個數(shù)是多少。這樣就避免的繁瑣的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)算，通過繪圖明顯可以看出交點有2個。即M和N這兩個集合的交集就有2個元素，答案為B。（二）數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，幾乎貫穿整個高中數(shù)學(xué)的教材，函數(shù)的內(nèi)容涉及

7、范圍廣、具備較高的抽象性和理論性，學(xué)生學(xué)習(xí)的難度比較大。但是函數(shù)不僅具備相應(yīng)的表達(dá)式，還有匹配的圖像。利用圖形，往往能夠解決單純依靠數(shù)學(xué)計算無法解決的問題。這就在一定程度上為函數(shù)的學(xué)習(xí)帶來了便利。實例1方程sin2x=sinx在區(qū)間x∈（0，2π）內(nèi)的解的個數(shù)是多少（）A.1B.2C.3D.4答案：C分析：此題單純地用數(shù)學(xué)計算方法解決的步驟為，sin2x=2sinxcosx=sinx，則有2cosx=1，再加上x∈（0，2π），因此有三個解。這樣雖然可以得到正確結(jié)果，但是需要逐步計算，對于馬虎的學(xué)生很可能會遺漏結(jié)果，選擇錯誤的答案。假如我們從另一方面去分析，不采用逐步的計算

8、方法，先將兩個三角函數(shù)的圖形在同一個坐標(biāo)系內(nèi)分別繪出。而且方程f(x)=g(x)的問題可以歸結(jié)為兩個函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的交點橫坐標(biāo)，這對于求方程近似解時是特別重要的，所以應(yīng)該引起足夠的重視。通過仔細(xì)觀察兩個三角函數(shù)的圖像可以發(fā)現(xiàn)交點有三個，即方程sin2x=sinx在(0，2π)內(nèi)有三個解。實例20.32，log20.3，20.3這三個數(shù)之間的大小順序是（）B.0.32<log20.3<20.3C.log20.3<0.32<20.3D.log20.3<20.3<0.32答案：C分析：該題如果要計算的話，只有可以計算出0.32的

9、值，后面兩項log20.3，20.3的數(shù)值根本計算不出來。直接比較根本行不通，這時只要在同一坐標(biāo)系中先繪制出y=x2，y=log2x，y=2x的圖像，然后將x的值定為x=0.3時，便可以直觀地觀察到有l(wèi)og20.3<0.32<20.3，因而答案選C。（三）數(shù)形結(jié)合思想在不等式中的應(yīng)用不等式也是高中數(shù)學(xué)的重要知識點，它和等式的一樣重要。它對于高中生的數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)起到關(guān)鍵作用，等式只是不等式的一種特殊情況?，F(xiàn)實當(dāng)中數(shù)學(xué)問題大多數(shù)是不等式。實例1：求不等式loga(x+1)>loga(x-1)(0<