淺談數(shù)形結(jié)合思想在高考解題中的應(yīng)用

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1、淺談數(shù)形結(jié)合思想在高考解題中的應(yīng)用5號?？谑协偵街袑W(xué)葉永海摘要:數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法。數(shù)形結(jié)合思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合高考數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法。數(shù)形結(jié)合思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維。華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”。數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在

2、聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起。如果把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與具體的圖形結(jié)合起來，挖掘和利用概念中的直觀成分，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，將無形的解題思路形象化，能有效降低教學(xué)難度，使問題化難為易、化繁為簡，有助丁把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。在高考的考試說明也明確的指出“淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)思想方法”?？v觀多年來的高考試題，數(shù)形結(jié)合思想方法也是重點(diǎn)考查內(nèi)容Z—，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果。下面根據(jù)自己這兒年來的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)

3、合高考題中的實(shí)例談?wù)勛约簩η捎脭?shù)形結(jié)合思想在高考解題的一些認(rèn)識(shí)。一、數(shù)形結(jié)合解決集合問題：常常借助于數(shù)軸、Venn圖來解決集合的運(yùn)算,使問題得以簡化，運(yùn)算快捷明了。(2010遼寧理數(shù))已知A,B均為集合U={1,3,5,7,9}的子集，且AQB二{3},q(BQA)二⑼，則A=()A.{1,3}B{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}解析：根據(jù)題冃所提供的條件，用Verm圖(如右圖)。由圖可知A二{3,9}【點(diǎn)評】本題考查了集合之間的關(guān)系、集合的交集、補(bǔ)集的運(yùn)算，但通過直接運(yùn)算不易得出結(jié)果，利用用數(shù)形結(jié)合思想，以形代

4、數(shù)，把抽象化直觀，輕松的解決。二、利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題：借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法。函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。(2009年海南)設(shè)/(x)=min{2v,x+2,10-x}(x>0),則/⑴的最大值為()A.4B.5C.6D.7解析：構(gòu)造函數(shù)y=2蔦y=x+2,y=10—x,并畫出函數(shù)圖象（如右圖），觀察圖象可知，①當(dāng)0WxW2時(shí)，函數(shù)f（x）=2X±存在最小值②當(dāng)2WxW4時(shí)，函數(shù)f（x）=x+2上存在最小值，③當(dāng)x>4時(shí)，函數(shù)f（x）=10-x±存在最小值，綜上所

5、述，f（x）的最大值在x=4時(shí)取得為6,故選C.?【點(diǎn)評】借助函數(shù)圖象，不僅很好地理解題意，而輕而易舉地得出了于（兀）的最大值，這是“以形助數(shù)”，否則，需要用解不等式組的方式求得/（兀）的分段表達(dá)式，并求岀每段上的最人值。從中選出最大值，那將是很繁瑣的，環(huán)節(jié)很多,出錯(cuò)率高.三、利用數(shù)形結(jié)合解決方程的根問題：處理問題時(shí)，將方程的根問題看作兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.（2002年江西）方程IgA=sin%的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)解析：構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)）=1時(shí)和并在同個(gè)一坐標(biāo)系里畫出函數(shù)圖象?！军c(diǎn)評】此方程是一個(gè)超越方程，用代數(shù)方法求解該方程是很困

6、難的用數(shù)形結(jié)合，方程的解就是函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此這兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)，突出了對轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查.四、利用數(shù)形結(jié)合解決三角函數(shù)問題：有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法.（2010江蘇卷）定義在區(qū)間0,—上的函數(shù)y二6cosx的圖像與y=5tanx的圖<2丿像的交點(diǎn)為P,過點(diǎn)P作PPi±x軸于點(diǎn)P”直線PP占y=sinx的圖像交于點(diǎn)P2,則線段P巴的長為o解析:女口圖，由題意得6cosx=

7、5tanx即6cosx=5sin兀/2「?,6cosx=5sinxcosx6(1-sin2x)=5sin兀,6sin2x+5sinx-6=0得sinx=

8、,結(jié)合圖象分析得:sinx二刖2二彳ty:y*=.5tanx//y=6cosx71人/以形助數(shù),【點(diǎn)評】本題通過代數(shù)方法是無法解決，可利用數(shù)形結(jié)合思想,畫出三角函數(shù)的圖象，觀察圖象發(fā)現(xiàn)

9、P.P2

10、=sinxo五、利用數(shù)形結(jié)合解決線性規(guī)劃問題：線性規(guī)劃問題是在約束條件下求冃標(biāo)函數(shù)的故值的問題。從圖形上找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.(2010上海文數(shù)）滿足線性約束條

11、件2x+y<3,x+2y<3,x>0,y>QA?1.B?IC.2.D.3.解析：把目標(biāo)函數(shù)z=x+y轉(zhuǎn)化為直線.象可知，當(dāng)直線過點(diǎn)B（l,l）時(shí),根據(jù)線性約束條件作岀平面區(qū)域（如上圖）兀+込，將最值問題轉(zhuǎn)化為截距問題，根據(jù)圖刁有最大值，最大值為2【點(diǎn)評】本題如果通過代數(shù)方法，由于滿足不等式