數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

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1、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用主講人：黃岡中學(xué)高級(jí)教師　湯彩仙一、復(fù)習(xí)策略1．?dāng)?shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對(duì)應(yīng)起來，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法．它可以使抽象的問題具體化，復(fù)雜的問題簡單化．“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．2．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考綱指出“數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查”，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以有效提升思維品質(zhì)

2、和數(shù)學(xué)技能．3．“對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次的抽象和概括的考查，考查時(shí)要與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合”，用好數(shù)形結(jié)合的思想方法，需要在平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)注意理解概念的幾何意義和圖形的數(shù)量表示，為用好數(shù)形結(jié)合思想打下堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)．4．函數(shù)的圖像、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是“以形示數(shù)”，而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標(biāo)表示則是“以數(shù)助形”，還有導(dǎo)數(shù)更是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供了“數(shù)形結(jié)合”的知識(shí)平臺(tái)．5．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過程中，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)形

3、結(jié)合的習(xí)慣，解題先想圖，以圖助解題．用好數(shù)形結(jié)合的方法，能起到事半功倍的效果，“數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休”．二、典例分析例1．(07全國II)在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布．若在內(nèi)取值的概率為0.4，則在內(nèi)取值的概率為．解：　　在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（1，2）（>0），正態(tài)分布圖象的對(duì)稱軸為x=1，在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，可知，隨機(jī)變量ξ在(1，2)內(nèi)取值的概率與在(0，1)內(nèi)取值的概率相同，也為0.4，這樣隨機(jī)變量ξ在(0，2)內(nèi)取值的概率為0.8．例2．（2007湖南）函數(shù)的圖象

4、和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（?。　　．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　　D．1解：由圖像易知交點(diǎn)共有3個(gè)．選B.例3．　　　A.1個(gè)　　　B.2個(gè)　　　C.3個(gè)　　　　D.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)解：　　出兩個(gè)函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有2個(gè)實(shí)根，選（B）．例4．曲線y=1＋(－2≤x≤2)與直線y=r(x－2)＋4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)r的取值范圍___________．解析：方程y=1＋的曲線為半圓，y=r(x－2)＋4為過（2，4）的直線.答案：（］例5．分析：　　　?。?．求函數(shù)的最大值．解：　　

5、由定義知1－x2≥0且2＋x≠0，∴－1≤x≤1，故可設(shè)x=cosθ，θ∈[0，π]，則有可看作是動(dòng)點(diǎn)M（cosθ，sinθ）(θ∈[0，π])與定點(diǎn)A（－2，0）連線的斜率，而動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，θ∈[0，π]，即x2＋y2=1（y∈[0，1]）是半圓．　　設(shè)切線為AT，T為切點(diǎn)，

6、OT

7、=1，

8、OA

9、=2．　　∴，∴0≤kAM≤．　　即函數(shù)的值域?yàn)閇0，]，故最大值為．點(diǎn)評(píng)：　?。?）有些代數(shù)式經(jīng)變形后具備特定的幾何意義，此時(shí)可考慮運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求解，如：比值——可考慮與斜率聯(lián)系；根式——可考慮與距離聯(lián)系；二元一次式

10、——可考慮與直線的截距相聯(lián)系．　　（2）本題也可如下轉(zhuǎn)化：令Y=，X=2＋x，則(X＋2)2＋Y2=1（Y≥0），求的最大值，即求半圓(X－1)2＋Y2=1（Y≥0）上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率的最大值，易知．變式1　解法一（代數(shù)法）：，．．．．解法二（幾何法）：．．．．．．．．變式2　分析：　　轉(zhuǎn)化出一元二次函數(shù)求最值；倘若對(duì)式子平方處理，將會(huì)把問題復(fù)雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個(gè)根號(hào)，故可采用兩步換元．解：　　　?。　〉谝幌笙薜牟糠郑òǘ它c(diǎn)）有公共點(diǎn)，（如圖）．　　相切于第一象限時(shí)，u取最大值

11、．　　．　?。　。?．已知A（1，1）為橢圓=1內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓左焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn).則

12、PF1

13、＋｜PA｜的最大值為__________,最小值為_____________。解：　　由可知a=3，b=，c=2，左焦點(diǎn)F1(－2,0),右焦點(diǎn)F2(2,0)．由橢圓定義，｜PF1｜=2a－｜PF2｜=6－｜PF2｜，　　∴｜PF1｜＋｜PA｜=6－｜PF2｜＋｜PA｜=6＋｜PA｜－｜PF2｜．　　如圖：由｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜=知－≤｜PA｜–｜PF2｜≤.當(dāng)P在AF2延長線上的P2處時(shí)，取右

14、“=”號(hào)；當(dāng)P在AF2的反向延長線的P1處時(shí)，取左“=”號(hào).即｜PA｜－｜PF2｜的最大、最小值分別為，－.于是｜PF1｜＋｜PA｜的最大值是6＋,最小值是6－.數(shù)形結(jié)合的熱點(diǎn)專題用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題　　2006年高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)命題的方向基本沒變，主要從五個(gè)方面(①與切線有關(guān)的問題；②函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間問題；③函數(shù)的極值和最值問題；④