“消點(diǎn)法”在初中幾何解題的初探

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1、消點(diǎn)法”在初中幾何解題的初探董基寶（興業(yè)縣沙塘鎮(zhèn)第二初級(jí)中學(xué)廣丙興業(yè)537822）【摘要】歷史上數(shù)學(xué)家在解幾何中一直尋找著像解代數(shù)一樣的通用公式，直到近代機(jī)器的發(fā)明，這樣的系統(tǒng)才得以快速發(fā)展，我國(guó)數(shù)學(xué)家張景中院士以他的面積法發(fā)展起來(lái)的消點(diǎn)法使得機(jī)器證明幾何得以實(shí)現(xiàn)。木文就簡(jiǎn)單介紹此法在中學(xué)幾何中用紙筆解題的應(yīng)用?！娟P(guān)鍵詞】幾何；機(jī)器證明；消點(diǎn)法在數(shù)學(xué)的歷史長(zhǎng)河中，數(shù)學(xué)家一直都希望像解代數(shù)一樣為幾何問(wèn)題尋找一套公式，使得解幾何像解代數(shù)問(wèn)題一樣套用公式，數(shù)學(xué)大師笛卡爾、萊布尼茨、希爾伯特等科學(xué)巨匠為此曾付出大量心血，但未能找到有效的途徑

2、。而今特別是現(xiàn)在電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，人們更希望機(jī)器能代替人類(lèi)成批地解決幾何問(wèn)題。電子計(jì)算機(jī)的山現(xiàn)，大大促進(jìn)了此領(lǐng)域的發(fā)展，早在50年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿爾弗雷德•塔斯基就用代數(shù)方法證明初等幾何機(jī)械化的可能性，但直到70年代，這種方法仍未曾得到很好的發(fā)展。在這種以機(jī)器證明幾何問(wèn)題思維研究的發(fā)展中，我國(guó)的張景中院士以他多年來(lái)研究并發(fā)展的幾何新方法（面積法）為基木工具，提出了消點(diǎn)法思想，并且和周咸山、高小山合作，于1992年突破了這項(xiàng)難題，從而實(shí)現(xiàn)了幾何定理可讀性證明的自動(dòng)生成，此法不以坐標(biāo)為基礎(chǔ),也不同于傳統(tǒng)的綜合方法，此方法以幾何

3、不變?yōu)榍疤?，把幾何、代?shù)邏輯和人工智能方法結(jié)合起來(lái)所形成的開(kāi)發(fā)系統(tǒng)。用最初有限的基木幾何不變量與一系列作圖規(guī)則并且建立有限的一系列與這些不變量和作圖規(guī)則有關(guān)的消點(diǎn)公式，把命題的前提以作圖語(yǔ)句的形式輸入，自動(dòng)化程序就可以調(diào)用相應(yīng)的消點(diǎn)公式把結(jié)論中的約朿關(guān)系逐個(gè)消去，最后得出結(jié)論，把消點(diǎn)的過(guò)程記錄起來(lái)并且與相應(yīng)的消點(diǎn)公式結(jié)合，就是一個(gè)具有幾何意義的證明過(guò)程。可喜的是此法亦可由人用筆在紙上執(zhí)行，我們稱(chēng)為的消點(diǎn)法，消點(diǎn)法把證明與作圖聯(lián)系起來(lái)，把代數(shù)演算與幾何推理密切相聯(lián)，從而幾何解題的邏輯性增強(qiáng)了，把初等幾何解題從只運(yùn)用四則運(yùn)算的層次推進(jìn)到

4、代數(shù)方法的階段，幾何證題亦有了以不變應(yīng)萬(wàn)變的模式。既然消點(diǎn)法是在面積法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，那么下面列出消點(diǎn)法要用到的公式定理：1、共邊定理有一條公共邊的兩個(gè)三角形，叫做共邊三角形。共邊三角形的面積比可以轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段的比。下面來(lái)介紹共邊定理。設(shè)直線(xiàn)AB與直線(xiàn)PQ交與M,則如圖2、共角定理若∠ABC和∠A’B’C’相等或互補(bǔ)，則存例1求證：平行四邊形對(duì)角線(xiàn)相互平分。分析（1）任取不共線(xiàn)的三點(diǎn)A,B，C;（2）取點(diǎn)D使AD//BC,DC//AB；（3）取AC,BD的交點(diǎn)0;下面是消點(diǎn)法的分

5、析過(guò)程：把圖中五個(gè)點(diǎn)分為三組：第一組為A,B，C我們把這組的點(diǎn)叫做自由點(diǎn)，這些點(diǎn)不受到其它條件的約束（前提條件A、B、C不共線(xiàn)）。第二組為D（此點(diǎn)由第一組約束產(chǎn)生，條件如分析（2））。第三組為點(diǎn)0,有了前面四個(gè)點(diǎn)才有0。我們把第一組叫做自由點(diǎn)，后兩組叫做約束點(diǎn)，也就是由自由點(diǎn)約束產(chǎn)生的。這種點(diǎn)之間的制約關(guān)系，對(duì)解題至關(guān)重要。要證明的結(jié)論是A0=0C，即AO:C0=lo因而解題思路是：要證明的等式左端有三個(gè)幾何點(diǎn)A,C，0出現(xiàn)，右端卻只冇數(shù)字1,若想辦法把字母A,C,0統(tǒng)統(tǒng)消掉。首先著手從式子AO:CO中消去最晚出現(xiàn)的點(diǎn)0,想消去一個(gè)

6、點(diǎn)，首先得看此點(diǎn)的來(lái)歷，以及其在何種幾何量中出現(xiàn)。點(diǎn)0是由AC，BD相交而產(chǎn)生的，可用共邊定理消去點(diǎn)，下一步輪到消去D,根據(jù)D的來(lái)歷：AD//BC,故SACBD=SAABC,DC//AB,故SAABD=SAABC，得。證明：由即證。例2平行于三角形ABC的BC邊的直線(xiàn)交三角形AB,AC邊于E、D,分別連接BD，CE相于點(diǎn)F，AF的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC于G,求證：BG=CG。分析：(1)任取不共線(xiàn)三點(diǎn)ABC。(2)在AB，AC上取點(diǎn)E、D，使得ED//BC。(3)取BD、CE的交點(diǎn)F。(4)取BC與AF的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)G。于是點(diǎn)的關(guān)系及順序就明

7、確了，先奮A、B、C，再有E、D，再存F，G。欲求BG=GC，只要。根據(jù)例1可知，后出現(xiàn)的點(diǎn)一般先消去，在此式中，左邊?B、C、G三點(diǎn)，點(diǎn)G是最后出現(xiàn)的。于是(G點(diǎn)是由BC和AF相交產(chǎn)生的，可利用共邊定理首先消去G點(diǎn)。)在上式右式中，有字母A、B、C、F。最晚出現(xiàn)的是F，我們想辦法消去F。(消去了點(diǎn)F)又因?yàn)镋D//BC，所以即最后得證畢。從上例可以看出：題B中的條件如果可以用尺規(guī)作圖表示出來(lái)，且結(jié)論可表成常用的幾何量(包括面積、線(xiàn)段及角的三角函數(shù))的多項(xiàng)式等式，就能用消點(diǎn)法一步一步地寫(xiě)出解答。如果我們想消去某點(diǎn)P吋，首先看P是如何

8、產(chǎn)生的，也就是與其它點(diǎn)是何種關(guān)系；二是P處在哪種幾何量中，由于作圖法只有有限種（設(shè)為N種），幾何量也只冇冇限個(gè)（設(shè)為M個(gè)），故消點(diǎn)法方式不會(huì)超過(guò)M×N種，這就是消點(diǎn)法解幾何題以不變應(yīng)萬(wàn)變模式的基本依據(jù)。收稿日期：2012-