隨機(jī)系統(tǒng)響應(yīng)分析及其應(yīng)用

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1、隨機(jī)系統(tǒng)響應(yīng)分析及其應(yīng)用1緒論1.1研究背景和目的在實(shí)際工程中，存在大量隨機(jī)因素影響結(jié)構(gòu)的安全使用。從結(jié)構(gòu)受到的荷載和作用、材料的生產(chǎn)能力到施工的工藝水平等各方面均存在明顯的不確定性因素。如結(jié)構(gòu)在使用年限內(nèi)的樓面活荷載、風(fēng)荷載、地震作用和爆炸沖擊均具有明顯的隨機(jī)性；材料的生產(chǎn)能力常影響混凝土強(qiáng)度的穩(wěn)定性和彈性模量；施工的工藝水平導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的尺寸等具有明顯的隨機(jī)性等。隨著社會(huì)的發(fā)展，在使用年限內(nèi)，土工結(jié)構(gòu)物將面對日益復(fù)雜的環(huán)境，而結(jié)構(gòu)破壞影響深遠(yuǎn)，其社會(huì)價(jià)值、經(jīng)濟(jì)價(jià)值和政治價(jià)值都不可估量。在確定性分析中，通常采用放大響應(yīng)值，縮小抗力值的方法來抵抗隨機(jī)性帶來的問題。分項(xiàng)系數(shù)雖然具

2、有一定的概率意義，然而無法完整描述系統(tǒng)的隨機(jī)性。為科學(xué)客觀的描述系統(tǒng)的隨機(jī)性，宜采用隨機(jī)數(shù)學(xué)的方法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。隨機(jī)系統(tǒng)中，其響應(yīng)亦為隨機(jī)變量，對于隨機(jī)變量的描述有概率密度函數(shù)描述和統(tǒng)計(jì)矩描述。概率密度函數(shù)固然能直接明了地反映隨機(jī)變量完整的概率信息，但在工程中大部分響應(yīng)的功能函數(shù)多為隱式函數(shù)，同時(shí)概率信息不全，即采用概率密度函數(shù)進(jìn)行描述隨機(jī)變量在實(shí)際操作中很難實(shí)現(xiàn)。退而求其次，獲得隨機(jī)響應(yīng)的低階統(tǒng)計(jì)矩也可以全面、系統(tǒng)地把握隨機(jī)性對系統(tǒng)影響的概率特征，故研究人員常采用響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩描述隨機(jī)性對結(jié)構(gòu)的影響?？煽慷确治鍪请S機(jī)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，亦是隨機(jī)系統(tǒng)分析的主要內(nèi)容之一，矩方法是可靠度分析

3、中重要的一類分析方法。矩方法是通過在設(shè)計(jì)點(diǎn)處對功能函數(shù)展開，后計(jì)算響應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)矩，再基于統(tǒng)計(jì)矩進(jìn)行可靠度分析。然其需要求解設(shè)計(jì)點(diǎn)值和功能函數(shù)的梯度，對于顯式函數(shù)，求解導(dǎo)函數(shù)較為容易，而實(shí)際工程中功能函數(shù)常為隱式函數(shù)，求解導(dǎo)函數(shù)將十分困難。隨機(jī)系統(tǒng)響應(yīng)分析可以通過演繹推導(dǎo)直接獲得響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩，避免矩方法中設(shè)計(jì)點(diǎn)值和功能函數(shù)梯度的求解，獲得的統(tǒng)計(jì)矩可以直接為可靠度分析奠定基礎(chǔ)。隨機(jī)系統(tǒng)響應(yīng)分析大致分為三類方法：隨機(jī)有限元法、點(diǎn)估計(jì)法和混沌多項(xiàng)式展開法。本文為了高效準(zhǔn)確地獲得響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩，研究了點(diǎn)估計(jì)法和混沌多項(xiàng)式展開法，希望提出更加合理的方法保障計(jì)算結(jié)果，以便為后續(xù)研究奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。.

4、........1.2點(diǎn)估計(jì)國內(nèi)外研究現(xiàn)狀早在1967年，Evans為解決統(tǒng)計(jì)參量的容差問題[2]，采用多維數(shù)值積分的方法來獲取響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩。此類采用數(shù)值積分的方法得到響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩，統(tǒng)稱為點(diǎn)估計(jì)方法(PointEstimateMethod,PEM)。然而使點(diǎn)估計(jì)法引起廣泛關(guān)注和研究的是Rosenblueth的相關(guān)論文[3]。在1975年，Rosenblueth提出了著名的單變量函數(shù)的兩點(diǎn)估計(jì)法，該方法給出了確定計(jì)算節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和權(quán)系數(shù)的解析表達(dá)式，方法計(jì)算過程并未涉及微積分的求解，大大簡化計(jì)算的難度，同時(shí)便于實(shí)際分析中采用。然而隨著隨機(jī)變量數(shù)量的增加，計(jì)算節(jié)點(diǎn)的數(shù)量呈指數(shù)型增加，即若功能

5、函數(shù)包含n個(gè)隨機(jī)變量，則計(jì)算節(jié)點(diǎn)將會(huì)達(dá)到2n個(gè)，不難可知當(dāng)n較大時(shí)此方法的成本費(fèi)用較大。在隨后的幾十年中，有不少人為提高點(diǎn)估計(jì)精度和效率做了大量工作，為后面提出較為完善的計(jì)算過程做了大量的理論研究和實(shí)踐驗(yàn)證。如在1983年，MillerRice在計(jì)算中引入累積分布函數(shù)的逆變換[4]，并采用[0,1]區(qū)間內(nèi)的累積分布值作為參考變量、采用(1/2)ln(1/y(1-y))為權(quán)函數(shù)，以確定計(jì)算節(jié)點(diǎn)值和權(quán)系數(shù)，并且提出兩步計(jì)算法以改善矩估計(jì)的計(jì)算精度。在1988年，ZhouNoite求積公式[5]，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中確定計(jì)算節(jié)點(diǎn)和權(quán)系數(shù)，當(dāng)變量為非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)時(shí)則需引Rosenblatt變換或Na

6、taf變換。沿用Rosenblueth的思路，在1992年，Li[6]給出了三點(diǎn)估計(jì)法的計(jì)算表達(dá)式，以進(jìn)一步提高點(diǎn)估計(jì)法的精度，該方法將中間節(jié)點(diǎn)固定于均值處，但這有可能導(dǎo)致其余節(jié)點(diǎn)位于變量的取值范圍之外。Li同時(shí)將一般多變量功能函數(shù)近似表達(dá)為單變量的四次多項(xiàng)式和雙變量的二次交叉項(xiàng)之和，引入單變量函數(shù)的三點(diǎn)估計(jì)法和雙變量函數(shù)微分系數(shù)的差分，給出了多變量函數(shù)的統(tǒng)計(jì)矩近似求解方法。同時(shí)該方法僅需(n2+3n+2)/2個(gè)計(jì)算節(jié)點(diǎn)，較Rosenblueth方法效率更高。..........2已知節(jié)點(diǎn)的Gauss-Hermite型求積公式研究隨機(jī)響應(yīng)分析中，常采用Gauss-Hermite型求積

7、公式進(jìn)行各定積分的求解。求積節(jié)點(diǎn)數(shù)越多計(jì)算的精度越高，在工程領(lǐng)域來說，函數(shù)的離散值附有實(shí)際具體的意義，或?yàn)橐淮谓Y(jié)構(gòu)分析，或?yàn)橐淮螌?shí)驗(yàn)等。正因如此，應(yīng)用中并不能簡單追求絕對精度，而無限地犧牲效率。為了在滿足一定計(jì)算精度的條件下，盡可能減少函數(shù)離散值的求解，本小節(jié)對求積公式進(jìn)行了研究，給出了在已知節(jié)點(diǎn)下的Gauss-Hermite型求積公式和常用求積節(jié)點(diǎn)及其系數(shù)。2.1數(shù)值積分際中若采用上式進(jìn)行計(jì)算將十分困難。問題主要有以下幾點(diǎn)：被積函數(shù)為非解析函數(shù)，或者不存