導數(shù)-極值-最值問題

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1、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用知識梳理一函數(shù)的單調性1、利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性：一般地，設函數(shù)在某個區(qū)間可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內恒有，則為常數(shù)；2、對于可導函數(shù)來說，是在某個區(qū)間上為增函數(shù)的充分非必要條件，是在某個區(qū)間上為減函數(shù)的充分非必要條件。3、利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的步驟：①求函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間.4、已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數(shù)與函數(shù)單調性關系：即“若函數(shù)單調遞增，

2、則；若函數(shù)單調遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解．二函數(shù)極大值、極小值1、極大值：如果是函數(shù)f(x)在某個開區(qū)間上的最大值點，即不等式對一切成立，就說函數(shù)f(x)在處取到極大值，并稱為函數(shù)f(x)的一個極大值點，為f(x)的一個極大值。2、極小值：如果是函數(shù)f(x)在某個開區(qū)間上的最小值點，即不等式對一切成立，就說函數(shù)f(x)在處取到極小值，并稱為函數(shù)f(x)的一個極小值點，為f(x)的一個極小值。3、極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點；若，則叫做函數(shù)f(x)的駐點；可導函數(shù)的極值點必為駐點，但駐點不一定

3、是極值點。4、判別f(c)是極大、極小值的方法:若滿足，且在c的兩側的導數(shù)異號，則c是的極值點，是極值，并且如果在c兩側滿足“左正右負”，則c是的極大值點，是極大值；如果在c兩側滿足“左負右正”，則c是的極小值點，是極小值5、求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′(x)(2)求f(x)的駐點，即求方程f′(x)=0的根(3)用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得

4、極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么f(x)在這個根處無極值三函數(shù)的最大值和最小值在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f在[a，b]上必有最大值與最小值。求閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的最大值和最小值的思想方法和步驟：（1）求函數(shù)?在(a，b)內的極值；（2）求函數(shù)?在區(qū)間端點的值?(a)、?(b)；（3）將函數(shù)?的各極值與?(a)、?(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。四三次函數(shù)有極值導函數(shù)的判別式>03.3.1利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性典例剖析:題型一求函數(shù)的單調區(qū)間例1已知函數(shù)y=x+，試討論出此函數(shù)的單調區(qū)間.分析：討論函數(shù)的單調區(qū)

5、間，可以利用導數(shù)來判斷解答：y′=(x+)′=1－=令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的單調增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的單調減區(qū)間是(－1，0)和(0，1)點評：利用導數(shù)討論函數(shù)的單調區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，再求函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x).，然后解不等式f′(x)＞0，得遞增區(qū)間，解不等式f′(x)＜0，得遞減區(qū)間.題型二已知函數(shù)的單調性，求參數(shù)的取值范圍例2.若函數(shù)在區(qū)間內為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，試求實數(shù)的取值范圍．分析：常利用導數(shù)與函數(shù)單調性關系：即“若函數(shù)單調遞增

6、，則；若函數(shù)單調遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解．解答：函數(shù)求導得，令得或，因為函數(shù)在區(qū)間內為減函數(shù)，所以當時，又因為在函數(shù)區(qū)間上為增函數(shù)，所以當時，，∴，∴．即實數(shù)的取值范圍[5，7]點評：已知單調區(qū)間求參數(shù)a的取值范圍是近年來常見的考查導數(shù)的一種題型。備選題例3：已知函數(shù)f（x）=2ax－,x∈（0,1］，若f（x）在x∈（0,1］上是增函數(shù)，求a的取值范圍；解:由已知可得f′（x）=2a+,∵f（x）在（0,1）上是增函數(shù)，∴f′（x）＞0,即a＞－,x∈（0,1］.∴a＞－1.當a=－1時，f′（x）=－2+對x∈（

7、0,1）也有f′（x）＞0，滿足f（x）在（0,1］上為增函數(shù)，∴a≥－1.評述:求參數(shù)的取值范圍，凡涉及函數(shù)的單調性、最值問題時，用導數(shù)的知識解決較簡單.點擊雙基1.函數(shù)y=x+cosx在（-，+）內是（）A增函數(shù)B減函數(shù)C有增有減D不能確定解：因為=1-sinx0恒成立，故選A2.．函數(shù)的單調減區(qū)間是（D）A．（B.C．，D.以上都不對。解：（x）=3+2>0恒成立，不存在單調減區(qū)間，故選D3.函數(shù)(,則()A．B.C．D.大小關系不能確定解：（x）=-=<0時x<1,所以(為減區(qū)間，又，故選C4.函數(shù)的單調增區(qū)間是解：（x）=1+2cosx>

8、0,所以cosx>-;單調增區(qū)間為(0,)5.如果函數(shù)y=+lnx-ax在定義域為增函數(shù)，則a的取值范圍是解：定義域為（0