由一道變式得到的多題.doc

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1、由一道變式得到的多題波利亞指出：“拿一個(gè)有意義但又不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學(xué)生引人一個(gè)完整的領(lǐng)域．”在學(xué)生原有知識基礎(chǔ)和解題方法上的變通，可以讓他們在變中總結(jié)此類的規(guī)律，在變化中學(xué)會靈活應(yīng)用，開闊四位。一、經(jīng)典題目，多年不變題目（出現(xiàn)在各種課本或同步練習(xí)）如圖1,B,C,D三點(diǎn)在同一直線上，∠ACB=∠ECD＝60°，AC＝BC,EC＝DC，連接BE,AD，分別交AC,CE于點(diǎn)M,N.(1)試說明△ACD≌△BCE的理由；(2)試說明CM=CA的理由．二、結(jié)論開放，條件不變例1，（黑龍江·綏化卷）如圖2，已知△ABC和△DCE是等

2、邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點(diǎn)O，AE與BD交于G，AC與BD交于點(diǎn)F，連接OC、FC,則下列結(jié)論：①AE=BD;②AG=BF;③FG//BE;④∠BOC=∠EOC.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()．(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)三、新的條件，百花爭艷1.定點(diǎn)變動點(diǎn)，以靜制動例2（山東·東營卷）如圖3，點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，△ACD和△BCE是在AB同側(cè)的2個(gè)等邊三角形，圖3DM,EN分別是△ACD和△BCE的高，點(diǎn)C在線段AB上沿著從點(diǎn)A向點(diǎn)B的方向移動（點(diǎn)C與點(diǎn)A,B不重合），連接DE,得到四邊形DMNE．這個(gè)四邊形的面積變化情況為（）．(A）逐漸

3、增大（B）逐漸減小(C)始終不變（D）先增大后變小2．直線段變折線段，方法更簡單(1)原題中當(dāng)點(diǎn)C不在線段BD上，以BC為一直角邊做直角三角形時(shí)，分別以其中兩邊為邊向外作等邊三角形，則演變?yōu)橄旅娴闹锌荚囶}．例3（廣東·中山卷）如圖4,別以Rt△ACB的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE已知∠BAC=30°,EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，連接DF.圖4（1）試說明AC＝EF;(2)求證：四邊形ADFE是平行四邊形．例4（重慶·茶江卷）如圖5，在平行四邊形ABCD中，分別以AB,AD為邊向外作等邊△ABE、等邊△ADF,延長CB交AE于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)A,E之間），連接CE,C

4、F,EF,則以下4個(gè)結(jié)論一定正確的是（）．圖5①ACDF≌DEBC;②∠CDF=∠EAF;③ACEF是等邊三角形；④CG⊥AE.(A）只有①②(B）只有①②③(C）只有③④(D)①②③④3．由等邊變等腰，類比變換最重要(1)等邊三角形是特殊的等腰三角形．因此，可以進(jìn)行類比聯(lián)想，若將原題中的等邊三角形改為等腰三角形，命題的結(jié)論、推理方法是否會有驚人的相似？例5（浙江·嘉興卷）如圖6，已知C是線段AB上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分別以AC,BC為斜邊，并且在AB的同一側(cè)作等腰Rt△CDA和等腰Rt△BEC，連接AE交CD于點(diǎn)M,連接BD交CE于點(diǎn)N，給出以下3個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N//AB;②②；

5、③MNAB.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）．(A)0個(gè)（B)1個(gè)（C)2個(gè)（D)3個(gè)(2)等邊三角形是最簡單的正多邊形．若將原題中的“等邊三角形”替換成“正方形”、“正五邊形”，能否將原來的性質(zhì)進(jìn)行拓展、推廣呢？例6（山西卷）如圖7(1)，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE,GC.（1)試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2)將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖9(2)，連接AE和CG．你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立．試說明理由．圖74．錯(cuò)位變換，意義深遠(yuǎn)若把原圖形中的某一部分進(jìn)行適當(dāng)變換（平

6、移、旋轉(zhuǎn)、相似等），使圖形位置發(fā)生變化，創(chuàng)設(shè)一個(gè)題設(shè)變化、圖形變化的問題情境，那么問題對結(jié)論的影響又會如何呢？例7（遼寧·丹東卷）如圖9，已知在等邊△ABC中，D,E,F分別為邊AB,AC,BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動點(diǎn)，△DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的位置改變時(shí)，△DMN也隨之整體移動）．(1)如圖9(1)，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，試判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由；(2）如圖11(2)，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其他條件不變，(1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，試?yán)脠D9(2)證明；若不成立，試說明理由；(3)若點(diǎn)M在點(diǎn)

7、C右側(cè)時(shí)，試在圖11(3)中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立，試直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由．圖9四、千變?nèi)f變，不離其宗我們再對原題的圖形進(jìn)行一些位置變換，再次領(lǐng)略一題多變，一題多解的風(fēng)采變式l：如圖13，A為線段BC上一點(diǎn)，△ABD和△ACE是等腰三角形，且AB、AD與AC、AE分別是兩等腰三角形的腰，且△ABD～△ACE.求證：CD=BE.圖11圖12變式2：如圖14，在△ABC中，分別以AB、AC、BC