一道多元變量最值問(wèn)題的探討過(guò)程與反思

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1、一道多元變量最值問(wèn)題的探討過(guò)程與反思鄧城（廣東省增城市增城中學(xué)，511300）很多時(shí)候?qū)W生提出的問(wèn)題非常有研究?jī)r(jià)值.教師若能認(rèn)真對(duì)待，則不僅能幫助學(xué)生解決問(wèn)題，而且對(duì)于教學(xué)也有很好的指導(dǎo)意義，達(dá)到教學(xué)相長(zhǎng)的效果.最近筆者在教學(xué)中就遇到了一道學(xué)生感到疑惑的多元變量最值問(wèn)題，其探討過(guò)程激烈曲折，解決方法出乎意料，但又在情理之中.現(xiàn)將其整理成文，與大家分享.1問(wèn)題的提出教學(xué)完選修2-2第一章后，一個(gè)學(xué)生問(wèn)筆者某教輔書(shū)上這樣的一個(gè)問(wèn)題：已知一個(gè)長(zhǎng)方體的交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)之和為1，其表面積為.(1)將這個(gè)長(zhǎng)方體的體積表示為一條棱長(zhǎng)的函數(shù)，并寫(xiě)出其定義域；(2)求的

2、最大值與最小值.(3)求取最大值時(shí)三條棱的長(zhǎng).初看這個(gè)題目感覺(jué)比較常見(jiàn)，難度應(yīng)該不大，應(yīng)該是應(yīng)用剛學(xué)到的導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題.于是筆者問(wèn)學(xué)生哪里不明白，學(xué)生回答說(shuō)這個(gè)題目大體上會(huì)做，但在第二問(wèn)中確定最值時(shí)感覺(jué)有點(diǎn)“詭異”，看答案又看不明白.教輔書(shū)給的參考答案如下：解：（1）設(shè)三條棱長(zhǎng)分別為，則..由得.（2），令得或.當(dāng)或時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.4結(jié)合實(shí)際意義知是的極大值也是最大值.是的極小值也是最大值...(3)由（2）知當(dāng)時(shí)，取最大值.此時(shí)解得或取最大值時(shí)，三條棱的長(zhǎng)分別為，，2問(wèn)題的解決筆者分析答案后覺(jué)得解答第二小問(wèn)處解析不清，用“結(jié)合實(shí)際意義”這樣措辭頗有隔

3、靴搔癢的味道.同時(shí)筆者感覺(jué)這個(gè)問(wèn)題內(nèi)有乾坤，何不乘學(xué)生疑惑和好奇之時(shí)引導(dǎo)他們討論一番呢？孔子亦云：“不憤不啟，不悱不發(fā)”.于是便有了如下師生對(duì)話.師：你們覺(jué)得哪里感到困惑？學(xué)生甲：為何是的極大值也是最大值，是的極小值也是最大值？師：那你們自己有何想法？學(xué)生甲：的范圍不是已經(jīng)求出了嗎？那根據(jù)求最值的方法不光要看極值還要看端點(diǎn)值，這里就應(yīng)該看趨向于0時(shí)和趨向于1時(shí)趨向于何值了.師：對(duì)，你們對(duì)于求最值掌握得不錯(cuò).那然后呢?學(xué)生甲：趨向于0時(shí)趨向于0啊，這樣極小值就不是最小值了！同樣趨向于1時(shí)趨向于，極大值也不是最大值了!師：那你的意思是答案錯(cuò)了？沒(méi)有最值了？學(xué)生乙

4、：不太可能吧，有幾個(gè)約束條件呢.師：你的猜測(cè)挺“合情”的，但還要“合理”才行.請(qǐng)大家仔細(xì)推敲下，如果最值確定存在的話上面的解答那里有問(wèn)題？學(xué)生乙：的表達(dá)式肯定沒(méi)問(wèn)題，計(jì)算也沒(méi)問(wèn)題，看來(lái)有問(wèn)題的可能是的范圍了！還受到兩個(gè)約束條件的限制，范圍應(yīng)該不是那么簡(jiǎn)單.學(xué)生丙：我發(fā)現(xiàn)當(dāng)接近0時(shí)，例如時(shí)，由得，則，由此說(shuō)明不會(huì)趨向于0，同樣不會(huì)趨向于1.師：不錯(cuò)，其實(shí)參考答案在處理的范圍時(shí)沒(méi)在整體上把握之間的相互制約關(guān)系.4看來(lái)你們找到問(wèn)題的真正所在了！那你們能找出的真正范圍來(lái)嗎？學(xué)生丙：這里有三個(gè)變量，兩個(gè)約束條件，很難直接得到的范圍啊.事實(shí)上筆者當(dāng)時(shí)也一下想不到解決辦法

5、，只好讓學(xué)生繼續(xù)思考，自己也回去再想想.當(dāng)晚備課翻看選修2-2的教材（人教A版）時(shí)無(wú)意間發(fā)現(xiàn)教材的最后幾頁(yè)有個(gè)閱讀材料()是介紹高次方程根與系數(shù)的關(guān)系，其中涉及三次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如下：設(shè)實(shí)系數(shù)一元三次方程①在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，，，可以得到，方程①可變形為，展開(kāi)得，②比較①②可以得到筆者聯(lián)想到學(xué)生所問(wèn)的問(wèn)題中三個(gè)變量的約束條件，不禁眼前一亮……第二天本想直接告訴學(xué)生解決方法，但轉(zhuǎn)念一想還是讓學(xué)生通過(guò)“閱讀與思考”嘗試探討解決.第三天一問(wèn)果然有個(gè)學(xué)生說(shuō)他做出來(lái)了，筆者于是讓他展示解答過(guò)程如下：根據(jù)三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可構(gòu)造方程，則即為方程的三個(gè)根.令欲使

6、方程有三個(gè)根，則，而，.故.若中最小，則易得.筆者用幾何畫(huà)板將此三次函數(shù)圖象畫(huà)出，學(xué)生們至此豁然開(kāi)朗，同時(shí)對(duì)那位同學(xué)的奇妙解答報(bào)以熱烈的掌聲.3幾點(diǎn)反思1.對(duì)教師自身而言，解題能力和研究意識(shí)直接決定了自身對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，其高低也決定了站在一個(gè)什么樣的高度去幫助學(xué)生怎樣解題，怎樣探究，怎樣學(xué)習(xí).學(xué)生問(wèn)的這個(gè)題目4其實(shí)就是個(gè)多元變量最值問(wèn)題.對(duì)于二元的最值問(wèn)題，可通過(guò)降元求解，變量的范圍比較簡(jiǎn)單.而對(duì)于三元變量最值問(wèn)題，降元處理起來(lái)就麻煩很多，更為重要的是從這個(gè)題目可以發(fā)現(xiàn)變量的范圍變得更復(fù)雜，更讓人“糾結(jié)”.這個(gè)題目的解法巧妙利用約束條件構(gòu)造一個(gè)三次方程，再利用

7、三次函數(shù)與方程的根的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用成功破解最值問(wèn)題.這解法讓筆者興奮之余也提醒自己應(yīng)該加強(qiáng)研究多元變量最值問(wèn)題，正所謂“欲窮千里目，更上一層樓”.另外，三次方程在高中數(shù)學(xué)中除了這個(gè)題目中的應(yīng)用，還可以解決哪些問(wèn)題？筆者不才，借此拋磚引玉.2.對(duì)教材的使用而言，經(jīng)過(guò)這此教學(xué)插曲，我也有了新的看法.新課程實(shí)施以來(lái)，知識(shí)量增多了，教科書(shū)數(shù)量也猛增，教學(xué)任務(wù)在一定程度上可以說(shuō)是增加了.這種情況使得筆者將絕大部分時(shí)間放在教科書(shū)的“正式內(nèi)容”（即需要教學(xué)的內(nèi)容）上，而對(duì)于每個(gè)章節(jié)最后的“閱讀與思考”這部分內(nèi)容有所忽略，往往置之不理或者讓學(xué)生自己課后閱讀，如此導(dǎo)致學(xué)生往

8、往不看，老師也沒(méi)深入研究.從這次問(wèn)題的解決來(lái)看，“閱