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1、一道多元變量最值問題的探討過程與反思鄧城（廣東省增城市增城中學，511300）很多時候?qū)W生提出的問題非常有研究價值.教師若能認真對待，則不僅能幫助學生解決問題，而且對于教學也有很好的指導意義，達到教學相長的效果.最近筆者在教學中就遇到了一道學生感到疑惑的多元變量最值問題，其探討過程激烈曲折，解決方法出乎意料，但又在情理之中.現(xiàn)將其整理成文，與大家分享.1問題的提出教學完選修2-2第一章后，一個學生問筆者某教輔書上這樣的一個問題：已知一個長方體的交于一個頂點的三條棱長之和為1，其表面積為.(1)將這個長方體的體積表示為一條棱長的函數(shù)，并寫出其定義域；(2)求的
2、最大值與最小值.(3)求取最大值時三條棱的長.初看這個題目感覺比較常見，難度應該不大，應該是應用剛學到的導數(shù)解決函數(shù)的最值問題.于是筆者問學生哪里不明白，學生回答說這個題目大體上會做，但在第二問中確定最值時感覺有點“詭異”，看答案又看不明白.教輔書給的參考答案如下：解：（1）設三條棱長分別為，則..由得.（2），令得或.當或時，.當時，.4結(jié)合實際意義知是的極大值也是最大值.是的極小值也是最大值...(3)由（2）知當時，取最大值.此時解得或取最大值時，三條棱的長分別為，，2問題的解決筆者分析答案后覺得解答第二小問處解析不清，用“結(jié)合實際意義”這樣措辭頗有隔
3、靴搔癢的味道.同時筆者感覺這個問題內(nèi)有乾坤，何不乘學生疑惑和好奇之時引導他們討論一番呢？孔子亦云：“不憤不啟，不悱不發(fā)”.于是便有了如下師生對話.師：你們覺得哪里感到困惑？學生甲：為何是的極大值也是最大值，是的極小值也是最大值？師：那你們自己有何想法？學生甲：的范圍不是已經(jīng)求出了嗎？那根據(jù)求最值的方法不光要看極值還要看端點值，這里就應該看趨向于0時和趨向于1時趨向于何值了.師：對，你們對于求最值掌握得不錯.那然后呢?學生甲：趨向于0時趨向于0啊，這樣極小值就不是最小值了！同樣趨向于1時趨向于，極大值也不是最大值了!師：那你的意思是答案錯了？沒有最值了？學生乙
4、：不太可能吧，有幾個約束條件呢.師：你的猜測挺“合情”的，但還要“合理”才行.請大家仔細推敲下，如果最值確定存在的話上面的解答那里有問題？學生乙：的表達式肯定沒問題，計算也沒問題，看來有問題的可能是的范圍了！還受到兩個約束條件的限制，范圍應該不是那么簡單.學生丙：我發(fā)現(xiàn)當接近0時，例如時，由得，則，由此說明不會趨向于0，同樣不會趨向于1.師：不錯，其實參考答案在處理的范圍時沒在整體上把握之間的相互制約關(guān)系.4看來你們找到問題的真正所在了！那你們能找出的真正范圍來嗎？學生丙：這里有三個變量，兩個約束條件，很難直接得到的范圍啊.事實上筆者當時也一下想不到解決辦法
5、，只好讓學生繼續(xù)思考，自己也回去再想想.當晚備課翻看選修2-2的教材（人教A版）時無意間發(fā)現(xiàn)教材的最后幾頁有個閱讀材料()是介紹高次方程根與系數(shù)的關(guān)系，其中涉及三次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如下：設實系數(shù)一元三次方程①在復數(shù)集內(nèi)的根為，，，可以得到，方程①可變形為，展開得，②比較①②可以得到筆者聯(lián)想到學生所問的問題中三個變量的約束條件，不禁眼前一亮……第二天本想直接告訴學生解決方法，但轉(zhuǎn)念一想還是讓學生通過“閱讀與思考”嘗試探討解決.第三天一問果然有個學生說他做出來了，筆者于是讓他展示解答過程如下：根據(jù)三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可構(gòu)造方程，則即為方程的三個根.令欲使
6、方程有三個根，則，而，.故.若中最小，則易得.筆者用幾何畫板將此三次函數(shù)圖象畫出，學生們至此豁然開朗，同時對那位同學的奇妙解答報以熱烈的掌聲.3幾點反思1.對教師自身而言，解題能力和研究意識直接決定了自身對數(shù)學的認識，其高低也決定了站在一個什么樣的高度去幫助學生怎樣解題，怎樣探究，怎樣學習.學生問的這個題目4其實就是個多元變量最值問題.對于二元的最值問題，可通過降元求解，變量的范圍比較簡單.而對于三元變量最值問題，降元處理起來就麻煩很多，更為重要的是從這個題目可以發(fā)現(xiàn)變量的范圍變得更復雜，更讓人“糾結(jié)”.這個題目的解法巧妙利用約束條件構(gòu)造一個三次方程，再利用
7、三次函數(shù)與方程的根的關(guān)系和導數(shù)的應用成功破解最值問題.這解法讓筆者興奮之余也提醒自己應該加強研究多元變量最值問題，正所謂“欲窮千里目，更上一層樓”.另外，三次方程在高中數(shù)學中除了這個題目中的應用，還可以解決哪些問題？筆者不才，借此拋磚引玉.2.對教材的使用而言，經(jīng)過這此教學插曲，我也有了新的看法.新課程實施以來，知識量增多了，教科書數(shù)量也猛增，教學任務在一定程度上可以說是增加了.這種情況使得筆者將絕大部分時間放在教科書的“正式內(nèi)容”（即需要教學的內(nèi)容）上，而對于每個章節(jié)最后的“閱讀與思考”這部分內(nèi)容有所忽略，往往置之不理或者讓學生自己課后閱讀，如此導致學生往
8、往不看，老師也沒深入研究.從這次問題的解決來看，“閱
