變量取整數(shù)的最值問題.pdf

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1、2中等數(shù)學(xué)●數(shù)學(xué)活動(dòng)課程講座●3變量取整數(shù)的最值問題王連笑(天津?qū)嶒?yàn)中學(xué),300074)(本講適合初中)1976換成2002,2003,方法仍然是相同的.我們學(xué)習(xí)過二次函數(shù)的最值問題:給出一由于和為1976的不同的正整數(shù)組只有2個(gè)二次函數(shù)y=ax+bx+c,當(dāng)x取全體實(shí)數(shù)有限多個(gè),而它們的乘積也只有有限多個(gè),所b以乘積的最大值是存在的.時(shí),若a>0,則當(dāng)x=-時(shí),y有最小值2a設(shè)n個(gè)正整數(shù)x1,x2,?,xn之和為1976,24ac-bb;若a<0,則當(dāng)x=-時(shí),y有最大即4a2a2x1+x2+?+xn=1976.4ac-

2、b值.或者,當(dāng)m≤x≤n時(shí),我們也能4a這里的n是一個(gè)變量,這是因?yàn)轭}目中要求夠求出這個(gè)二次函數(shù)的最值.這樣的最值問題的和為1976的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是不確定的.我的特點(diǎn)是:自變量x取全體實(shí)數(shù)或部分實(shí)數(shù),們的目標(biāo)是追求乘積的最大值,而不拘泥于正如果在平面直角坐標(biāo)系表示出來則是一個(gè)“連整數(shù)的個(gè)數(shù)n.續(xù)”的狀況.但有些問題,它的自變量不是取實(shí)首先,關(guān)注一個(gè)大于4的正整數(shù).數(shù),而是取整數(shù),變量呈現(xiàn)一定的“離散”狀況,如果x1,x2,?,xn中有一個(gè)大于4,比如這時(shí),我們學(xué)習(xí)過的求最值的方法就不一定適xj>4,把xj拆成一個(gè)2與一個(gè)x

3、j-2的和bxj=2+(xj-2).用了,因?yàn)檫@時(shí)-不一定是整數(shù).另外,還2a兩個(gè)加數(shù)的乘積有不少題目給出的變量不僅是取整數(shù),而且變2(xj-2)=2xj-4=xj+(xj-4)>xj.量不一定是一個(gè),解這類問題,我們學(xué)習(xí)過的所以,第一步調(diào)整是把x1,x2,?,xn中所方法也不一定適用.有大于4的數(shù)xj,通過分拆為2與xj-2,全部對(duì)于有一個(gè)變量或多個(gè)變量取整數(shù)的最換成不大于4的正整數(shù).值問題如何求解呢?主要方法有兩種:第一種當(dāng)然,不能讓拆出的數(shù)中出現(xiàn)1,因?yàn)檫@是局部調(diào)整法,第二種是估計(jì)—構(gòu)造法.時(shí)乘積不會(huì)變大.還要注意到

4、,如果拆出的數(shù)1　局部調(diào)整法恰巧出現(xiàn)4,由于4=2+2=2×2,所以把4換成2+2時(shí),不會(huì)使乘積變小.讓我們從熟悉的例題談起.因此,第二步調(diào)整是把xi中所有的4全例1　已知若干個(gè)正整數(shù)之和為1976.求部換成2+2.其乘積的最大值.經(jīng)過這兩步調(diào)整,乘積將會(huì)變大,而且是講解:這是在1976年舉行的第18屆國際把1976拆成若干個(gè)2與3的和.數(shù)學(xué)奧林匹克題,但是1976不是關(guān)鍵,把下面的注意力就放在2和3的調(diào)整上.3　本文收稿日期:20002206217由于2+2+2=3×2,但2×2×2<3×3,2002年第6期3這說明,在

5、對(duì)1976的分拆中多出現(xiàn)3比多出?,1,44).現(xiàn)2好.這時(shí),由于于是,第三步調(diào)整是把1976的分拆中,1+1+?+1+44=66×1+44=110,每三個(gè)2換成兩個(gè)3,即讓分拆中多出現(xiàn)3.并且每調(diào)整一次,平方和就增大一次,所以,所222因?yàn)?976=658×3+2,所以經(jīng)過這三步求x1+x2+?+x67的最大值為222調(diào)整把1976分成658個(gè)3與1個(gè)2之和.1+?+1+44=2002.這時(shí)的乘積最大,最大值為2×3658.66個(gè)例3　某工廠開工的第一天的產(chǎn)量不超這道題的解題過程是:第一次調(diào)整過20件,此后日產(chǎn)量每天都有

6、所增加,但每次一組正整數(shù)的和等于1976大于4的數(shù)拆成2,3,4增加的產(chǎn)量的數(shù)量不超過20件.證明:當(dāng)日產(chǎn)第二次調(diào)整若干個(gè)2,3,4的和等于1976量達(dá)到1995件時(shí),工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量不會(huì)4拆成2+2第三次調(diào)整少于100500件.若干個(gè)2,3的和等于19763個(gè)2拆成2個(gè)3講解:設(shè)工廠開工后第n天的日產(chǎn)量達(dá)乘積最大值658個(gè)3與1個(gè)2的和等于19766582×3到1995件.如果設(shè)第一天的日產(chǎn)量為a1件,例2　已知x1,x2,?,x67是正整數(shù),并且第i天增加的產(chǎn)量為ai件,則第n天的日產(chǎn)222它們的和等于110.求x1

7、+x2+?+x67的最大量應(yīng)為值.a1+a2+?+an=1995.(0

8、-x1)>x1+x67,小值.這表明,如果把最小數(shù)x1減少1,而把最大數(shù)現(xiàn)在進(jìn)行調(diào)整:x67增加1(這時(shí)67個(gè)正整數(shù)的和不變),它們?cè)赼1,a2,?,an中從后往前數(shù),尋找小的平方和就增大.于20的數(shù),設(shè)遇到的第一個(gè)小于20的數(shù)為ak為此,我們進(jìn)行這樣的調(diào)整:(k>1),這時(shí)我們就給ak增加1,相應(yīng)地給