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《奧數(shù)：初中奧數(shù)系列：.圓c級.第01講.學(xué)生版》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、圓的綜合（一）例題精講【例1】如圖，在中，弦于，（1）求的半徑，（2）求的長．【難度】3星【解析】第一問利用的是圓周角的度數(shù)為圓心角的一半，第二問利用的是垂徑定理【答案】（1）連接，作、，∵，，又∵，∴，∴（2）∵，又∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴【鞏固】（2010?珠海）如圖，內(nèi)接于，=6，=4，是邊上一點，是優(yōu)弧的中點，連接．（1）當BD的長度為多少時，是以為底邊的等腰三角形？并證明；（2）去的中點，連接，若，求的長．【難度】3星【解析】（1）根據(jù)等弧對等弦以及全等三角形的判定和性質(zhì)進行求解；（2）根據(jù)相似三角形的知識和垂
2、徑定理進行求解．【答案】（1）當時，是以為底邊的等腰三角形．∵是優(yōu)弧的中點，∴=．∴．∴當．∴，即是以為底邊的等腰三角形．（2）由（1）可知，當時，，，過點作于，則．∵，∴，，又∵∴．【點評】綜合運用了等弧對等弦的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的知識以及垂徑定理．【例1】（2005?內(nèi)江）如圖所示，半徑為2，弦，為的中點，為弦的中點，且在上，求四邊形的面積．【難度】3星【解析】由是的中點，根據(jù)垂徑定理，可知，且=，在中，利用勾股定理，可求出=1，即，那么，，而是中點，會出現(xiàn)等底同高的三角形，因而有．【答案】連接交于
3、點，連接，∵在直徑上且點是中點∴，在中由勾股定理得=∵∴∴∵點是中點∴又∵和同高∴同理∴∴．【點評】本題利用了垂徑定理、勾股定理，還有等底同高的三角形面積相等等知識．【鞏固】（2010?南平）如圖所示，的直徑長為6，弦長為2，的平分線交于點，求四邊形的面積．【難度】3星【解析】四邊形ADBC可分作兩部分：①，由圓周角定理知，中，根據(jù)勾股定理即可求得直角邊的長，進而可根據(jù)直角三角形的面積計算方法求出的面積；②，由于平分，則，由此可證得是等腰直角三角形，即可根據(jù)斜邊的長求出兩條直角邊的長，進而可得到的面積；上述兩個三角形的面積和即
4、為四邊形的面積，由此得解．【答案】∵是直徑，∴，在中，，，∴；∵的平分線交于點，∴；∴，∴；∴在中，，∴四邊形的面積=．【點評】此題主要考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識的綜合應(yīng)用能力．【例1】（2011?肇慶）己知：如圖，內(nèi)接于，為直徑，的平分線交干點，交于點，于點，且交于點，連接．（1）求證：（2）求證：點是線段的中點（3）若的半徑為5，，求的值．【難度】3星【解析】（1）根據(jù)圓周角定理得出，以及得出答案即可；（2）首先得出，再根據(jù)，且得出，從而得出；（3）利用相似三角形的判定得出即可
5、得出答案．【答案】（1）∵平分，∴，∵與都是所對的圓周角，∴，∴；（2）∵為直徑，∴，∵于，∴，∴，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴，即：是的中點；（3）∵，，∴，∴，∴在中，，即：．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定以及圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)證明以及，得出答案是解決問題的關(guān)鍵．【鞏固】（2011?宜賓）已知：在中，以邊為直徑的交于點，在劣弧上取一點使，延長依次交于點=，交于．（1）求證：；（2）若，⊙O的直徑等于10，BD=8，求CE的長．【難度】3星【解析】（1）連接，由圓周角定理即可得出，，再根據(jù)直角三角形的性
6、質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由，可求出，利用勾股定理即可得出的長，再由相似三角形的判定定理與性質(zhì)可求出的長，連接AE由圓周角定理可得出，進而得出，由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【答案】（1）連接，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴∠，∴，∴，∴，連接，∵是直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點評】本題考查的是圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【例1】（2011?孝感）如圖，等邊內(nèi)接于，是上任一點（點不與點重合），連、，過點作交的延長線
7、于點．（1）填空：=度，=度；（2）求證:；（3）若，求梯形的面積．【難度】3星【解析】（1）利用同弧所對的圓周角相等即可求得題目中的未知角；（2）利用上題中得到的相等的角和等邊三角形中相等的線段證得兩三角形全等即可；（3）利用上題證得的兩三角形全等判定為等邊三角形，進而求得的長，利用梯形的面積公式計算梯形的面積即可．【答案】（1），；（2）∵，∴，，∴，∴；（3）∵，∴又，∴為等邊三角形，∴，作于，在Rt中，，∴，∴梯形的面積為：．【點評】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)及梯形的面積計算方法，是一道比
8、較復(fù)雜的幾何綜合題．【鞏固】（2011?桂林）如圖，在銳角中，是最短邊；以中點為圓心，長為直徑作，交于，過作交于，連接、、．（1）求證：是的中點；（2）求證：；（3）若，且，求的長．【難度】3星【解析】（1）由是的直徑，即可求得，又由，即可證得是的中點；（2）首先延長交于，則
