函數(shù)概念與基本初等函數(shù)(5)

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1、陽(yáng)光家教網(wǎng)www.ygjj.com西安家教青島家教鄭州家教蘇州家教天津家教中國(guó)最大找家教、做家教平臺(tái)第二章　函數(shù)概念與基本初等函數(shù)§2.1　映射、函數(shù)、反函數(shù)一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.映射：一般地，設(shè)A、B兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的單值對(duì)應(yīng)叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的對(duì)應(yīng)法則)2.函數(shù)：設(shè)A，B都是非空的數(shù)集，如果按某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合A中每一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，且B中每一個(gè)元素都的原象，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作.其中所有的輸入值組成的集

2、合A稱為函數(shù)定義域.對(duì)于A中的每一個(gè)，都有一個(gè)輸出值與之對(duì)應(yīng)，我們將所有輸出值組成的集合稱為函數(shù)的值域.　　3.反函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表示出來(lái)，得到x=f-1(y).若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么x=f-1(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作x=f-1(y).我們一般用x表示自變量，用y表示函數(shù)，為此我們常常對(duì)調(diào)函數(shù)x=f-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f-1(x)反函數(shù)y=f-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f

3、(x)的值域、定義域.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.對(duì)映射概念的認(rèn)識(shí)(1)與是不同的，即與上有序的.或者說(shuō)：映射是有方向的，(2)輸出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到對(duì)應(yīng)的輸入值.集合A中每一個(gè)輸入值，在集合B中必定存在唯一的輸出值.或者說(shuō)：允許集合B中有剩留元素；允許多對(duì)一，不允許一對(duì)多.(3)集合A，B可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其它類型的集合.2.對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)（1）對(duì)函數(shù)符號(hào)的理解知道y=與的含義是一樣的，它們都表示是的函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)值，連接的紐帶是法則.是單值對(duì)應(yīng).陽(yáng)光家教網(wǎng)www.ygjj.com西安家教青島家教鄭州家教蘇州家教天津家教中國(guó)最大找家

4、教、做家教平臺(tái)(2)注意定義中的集合A，B都是非空的數(shù)集,而不能是其他集合；（3）函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法，和圖像法.3.對(duì)反函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)?。?）函數(shù)y=只有滿足是從定義域到值域上一一映射，才有反函數(shù)；?。?）反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域，因此反函數(shù)的定義域一般不能由其解析式來(lái)求，而應(yīng)該通過(guò)原函數(shù)的值域而得.?。?）互為反函數(shù)的函數(shù)有相同的單調(diào)性，它們的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1]設(shè)M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）從M到N的映射種數(shù)；　　?。?）從M到N的映射滿足(a)>(b)≥f(c),試確定這樣的映射的種數(shù).錯(cuò)解：（1）由于

5、M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，結(jié)合映射的概念，有，共6個(gè)映射(2)由（1）得滿足條件的映射僅有一種情況錯(cuò)因：沒(méi)有找全滿足條件的映射個(gè)數(shù)，關(guān)健是對(duì)概念認(rèn)識(shí)不清正解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，結(jié)合映射的概念，有一共有27個(gè)映射（2）符合條件的映射共有4個(gè)[例2]已知函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1]，求函數(shù)的定義域錯(cuò)解：由于函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1]，即，∴的定義域是[1，2]錯(cuò)因：對(duì)函數(shù)定義域理解不透，不明白與定義域之間的區(qū)別與聯(lián)系，其實(shí)在這里只要明白：中取值的范圍與中式子的取值范圍一致就好了.正解：由于函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1]，即∴滿足，∴的定義域是[－1，0][

6、例3]已知：，求.陽(yáng)光家教網(wǎng)www.ygjj.com西安家教青島家教鄭州家教蘇州家教天津家教中國(guó)最大找家教、做家教平臺(tái)錯(cuò)解：∵，∴故，∴＝3－3＝0.錯(cuò)因：沒(méi)有理解分段函數(shù)的意義，的自變量是3，應(yīng)代入中去，而不是代入－5中，只有將自變量化為不小于6的數(shù)才能代入解析式求解.正解：∵，∴＝＝＝7-5＝2　[例4]已知的反函數(shù)是，如果與的圖像有交點(diǎn)，那么交點(diǎn)必在直線上，判斷此命題是否正確？錯(cuò)解：正確錯(cuò)因：對(duì)互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱這一性質(zhì)理解不深，比如函數(shù)的圖像的交點(diǎn)中，點(diǎn)不在直線上，由此可以說(shuō)明“兩互為反函數(shù)圖像的交點(diǎn)必在直線上”是不正確的.[例5]求函數(shù)，的值域.錯(cuò)解：　　　又，的值域是

7、錯(cuò)因:對(duì)函數(shù)定義中，輸入定義域中每一個(gè)x值都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，錯(cuò)誤地理解為x的兩端點(diǎn)時(shí)函數(shù)值就是y的取值范圍了.正解：配方，得∵，對(duì)稱軸是∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值為2，的值域是[例6]已知，求函數(shù)的解析式.陽(yáng)光家教網(wǎng)www.ygjj.com西安家教青島家教鄭州家教蘇州家教天津家教中國(guó)最大找家教、做家教平臺(tái)錯(cuò)解：由已知得即，∴錯(cuò)因：將函數(shù)錯(cuò)誤地認(rèn)為是的反函數(shù)，是由于對(duì)函數(shù)表達(dá)式理解不透徹所致，實(shí)際上與并不是互為反函數(shù)，一般