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《多元復合函數(shù)和隱函數(shù)的求導法則》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在應用文檔-天天文庫。
1、6.3多元復合函數(shù)和隱函數(shù)求導法則6．3．1復合函數(shù)的求導法則思考：設，而，，如何求？設，而，，如何求和？1.復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形定理1如果函數(shù)及都在點t可導,函數(shù)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù),則復合函數(shù)在點t可導,且有.簡證1：因為具有連續(xù)的偏導數(shù),則它是可微的,即有.又因為，都可導,因而可微,即有,,代入上式得：,從而.簡證2：當t取得增量Dt時,u、v及z相應地也取得增量Du、Dv及Dz，由、及的可微性,有,,令Dt?0,上式兩邊取極限,即得.注：.推廣：設，，，，則對t的導數(shù)為：.上述稱為全導數(shù).2.復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形
2、定理2：如果函數(shù)，都在點(x,y)具有對x及y的偏導數(shù),函數(shù)z=f(u,v)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù),則復合函數(shù)在點(x,y)的兩個偏導數(shù)存在,且有，。推廣：設，，，，則，。討論：(1)設z=f(u,v),u=j(x,y),v=y(y),則？？提示:,.(2)設z=f(u,x,y),且u=j(x,y),則？？提示:,.這里與是不同的,是把復合函數(shù)z=f[j(x,y),x,y]中的y看作不變而對x的偏導數(shù),是把f(u,x,y)中的u及y看作不變而對x的偏導數(shù).與也有類似的區(qū)別.3．復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù),又有多元函數(shù)的情形定理3如果函數(shù)u=j(x,y
3、)在點(x,y)具有對x及對y的偏導數(shù),函數(shù)v=y(y)在點y可導,函數(shù)z=f(u,v)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù),則復合函數(shù)z=f[j(x,y),y(y)]在點(x,y)的兩個偏導數(shù)存在,且有,.例1設z=eusinv,u=xy,v=x+y,求和.解=eusinv×y+eucosv×1=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)],=eusinv×x+eucosv×1=exy[xsin(x+y)+cos(x+y)].例2設,而.求和.解..例3設z=uv+sint,而u=et,v=cost.求全導數(shù).解=v×et+u×(-sint)+cost=etcos
4、t-etsint+cost=et(cost-sint)+cost.例4設w=f(x+y+z,xyz),f具有二階連續(xù)偏導數(shù),求及.解令u=x+y+z,v=xyz,則w=f(u,v)，引入記號:，；同理有,,等.,.注:,.例5設u=f(x,y)的所有二階偏導數(shù)連續(xù),把下列表達式轉換成極坐標系中的形式:(1);(2).解由直角坐標與極坐標間的關系式得u=f(x,y)=f(rcosθ,rsinθ)=F(r,θ),其中x=rcosθ,y=rsinθ,,.應用復合函數(shù)求導法則,得：,.兩式平方后相加,得：.再求二階偏導數(shù),得：.同理可得.兩式相加,得：.6．3．2全微分形
5、式不變性設z=f(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù),則有全微分：.如果z=f(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù),而u=j(x,y),v=y(x,y)也具有連續(xù)偏導數(shù),則.由此可見,無論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù),它的全微分形式是一樣的.這個性質叫做全微分形式不變性.例6設z=eusinv,u=xy,v=x+y,利用全微分形式不變性求全微分.解=eusinvdu+eucosvdv=eusinv(ydx+xdy)+eucosv(dx+dy)=(yeusinv+eucosv)dx+(xeusinv+eucosv)dy=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+e
6、xy[xsin(x+y)+cos(x+y)]dy.6．3．3隱函數(shù)的求導法則1．一個方程的情形隱函數(shù)存在定理1設函數(shù)F(x,y)在點P(x0,y0)的某一鄰域內具有連續(xù)偏導數(shù),F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)10,則方程F(x,y)=0在點(x0,y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y=f(x),它滿足條件y0=f(x0),并有.求導公式證明:將y=f(x)代入F(x,y)=0,得恒等式：F(x,f(x))o0,等式兩邊對x求導得：,由于Fy連續(xù),且Fy(x0,y0)10,所以存在(x0,y0)的一個鄰域,在這個鄰域同F(xiàn)y10,于是得
7、.例1驗證方程x2+y2-1=0在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x=0時y=1的隱函數(shù)y=f(x),并求這函數(shù)的一階與二階導數(shù)在x=0的值.解設F(x,y)=x2+y2-1,則Fx=2x,Fy=2y,F(0,1)=0,Fy(0,1)=210.因此由定理1可知,方程x2+y2-1=0在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x=0時y=1的隱函數(shù)y=f(x).,; ,.隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù).一個二元方程F(x,y)=0可以確定一個一元隱函數(shù),一個三元方程F(x,y,z)=0可以確定一個二元隱函數(shù).隱函數(shù)存在定理2設函數(shù)
8、F(x,y
