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1、8.3多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、隱函數(shù)求導(dǎo)法則的求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則微分法則定理.若處具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t1.復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形(1)函數(shù)(2)證:設(shè)t取增量△t,則相應(yīng)中間變量有增量△u,△v,(全導(dǎo)數(shù)公式)(△t＜0時(shí),根式前加“–”號(hào))推廣:中間變量多于兩個(gè)的情形.例如,在相似條件下，2.復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形定理.若處具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)則復(fù)合函數(shù)(1)函數(shù)(2)都在點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù)；偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有鏈?zhǔn)?/p>
2、法則推廣：在相似條件下，有口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)3.復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)定理.若處具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)則復(fù)合函數(shù)(1)函數(shù)(2)在點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有鏈?zhǔn)椒▌ty的偏導(dǎo)數(shù)；在點(diǎn)y可導(dǎo)，兩者的區(qū)別區(qū)別類似對(duì)于例1.設(shè)解:例2.解:例3.設(shè)求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解的問(wèn)題中經(jīng)常遇到,下列兩個(gè)例題有助于掌握這方面問(wèn)題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).例4.設(shè)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求步驟：1.必須設(shè)中間變量；令則2.簡(jiǎn)化偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)；以分別表示f(u,v)對(duì)第一個(gè)，第
3、二個(gè)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)，以表示f(u,v)先對(duì)第一個(gè)再對(duì)第二個(gè)中間變量的二階導(dǎo)數(shù)；例4.設(shè)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求步驟：3.求等二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，仍看作是x，y的函數(shù)，求再高階偏導(dǎo)時(shí)，以此類推。為簡(jiǎn)便起見(jiàn),引入記號(hào)例4.設(shè)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則設(shè)函數(shù)的全微分為可見(jiàn)無(wú)論u,v是自變量還是中間變量,則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達(dá)形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.4.全微分形式的不變性例1.例5.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以二、隱函數(shù)求導(dǎo)公式定理1.設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①
4、具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)兩邊對(duì)x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還可求隱函數(shù)的例6.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解:令連續(xù);由定理可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求兩邊對(duì)x求導(dǎo)兩邊再對(duì)x求導(dǎo)令x=0,注意此時(shí)導(dǎo)數(shù)的另一求法—方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)也可利用全微分求解定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一
5、確兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)同樣可得則例7.設(shè)解法1方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)再對(duì)x求導(dǎo)解法2利用公式設(shè)則兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)也可利用全微分求解總結(jié)方法：1.求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)，有哪些方法：答:通常有三種方法(1)利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式；(2)對(duì)所給方程兩端求導(dǎo),再解出所求的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)；(3)利用全微分.
