6.3 多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

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1、6.3多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)法則6．3．1復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則思考：設(shè)，而，，如何求？設(shè)，而，，如何求和？1.復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形定理1如果函數(shù)及都在點(diǎn)t可導(dǎo),函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)t可導(dǎo),且有.簡證1：因?yàn)榫哂羞B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則它是可微的,即有.又因?yàn)?，都可?dǎo),因而可微,即有,,代入上式得：,從而.簡證2：當(dāng)t取得增量Dt時(shí),u、v及z相應(yīng)地也取得增量Du、Dv及Dz，由、及的可微性,有,,令Dt?0,上式兩邊取極限,即得.注：.推廣：設(shè)，，，，則對(duì)t的導(dǎo)數(shù)為：.上述稱為全導(dǎo)數(shù).2.復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形定理2：如果函數(shù)，都在

2、點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且有，。推廣：設(shè)，，，，則，。討論：(1)設(shè)z=f(u,v),u=j(x,y),v=y(y),則？？提示:,.(2)設(shè)z=f(u,x,y),且u=j(x,y),則？？提示:,.這里與是不同的,是把復(fù)合函數(shù)z=f[j(x,y),x,y]中的y看作不變而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),是把f(u,x,y)中的u及y看作不變而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù).與也有類似的區(qū)別.3．復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù),又有多元函數(shù)的情形定理3如果函數(shù)u=j(x,y)在點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)

3、v=y(y)在點(diǎn)y可導(dǎo),函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=f[j(x,y),y(y)]在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且有,.例1設(shè)z=eusinv,u=xy,v=x+y,求和.解=eusinv×y+eucosv×1=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)],=eusinv×x+eucosv×1=exy[xsin(x+y)+cos(x+y)].例2設(shè),而.求和.解..例3設(shè)z=uv+sint,而u=et,v=cost.求全導(dǎo)數(shù).解=v×et+u×(-sint)+cost=etcost-etsint+cost=et(cost-sint)+cost.

4、例4設(shè)w=f(x+y+z,xyz),f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求及.解令u=x+y+z,v=xyz,則w=f(u,v)，引入記號(hào):，；同理有,,等.,.注:,.例5設(shè)u=f(x,y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的形式:(1);(2).解由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系式得u=f(x,y)=f(rcosθ,rsinθ)=F(r,θ),其中x=rcosθ,y=rsinθ,,.應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,得：,.兩式平方后相加,得：.再求二階偏導(dǎo)數(shù),得：.同理可得.兩式相加,得：.6．3．2全微分形式不變性設(shè)z=f(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有全微分：.如果z=f(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)

5、數(shù),而u=j(x,y),v=y(x,y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則.由此可見,無論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù),它的全微分形式是一樣的.這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性.例6設(shè)z=eusinv,u=xy,v=x+y,利用全微分形式不變性求全微分.解=eusinvdu+eucosvdv=eusinv(ydx+xdy)+eucosv(dx+dy)=(yeusinv+eucosv)dx+(xeusinv+eucosv)dy=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+exy[xsin(x+y)+cos(x+y)]dy.6．3．3隱函數(shù)的求導(dǎo)法則1．一個(gè)方程的情形隱函數(shù)存在定理1

6、設(shè)函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)10,則方程F(x,y)=0在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x),它滿足條件y0=f(x0),并有.求導(dǎo)公式證明:將y=f(x)代入F(x,y)=0,得恒等式：F(x,f(x))o0,等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：,由于Fy連續(xù),且Fy(x0,y0)10,所以存在(x0,y0)的一個(gè)鄰域,在這個(gè)鄰域同F(xiàn)y10,于是得.例1驗(yàn)證方程x2+y2-1=0在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x=0時(shí)y=1的隱函數(shù)y=f(x),并求這函數(shù)

7、的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x=0的值.解設(shè)F(x,y)=x2+y2-1,則Fx=2x,Fy=2y,F(0,1)=0,Fy(0,1)=210.因此由定理1可知,方程x2+y2-1=0在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x=0時(shí)y=1的隱函數(shù)y=f(x).,;,.隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù).一個(gè)二元方程F(x,y)=0可以確定一個(gè)一元隱函數(shù),一個(gè)三元方程F(x,y,z)=0可以確定一個(gè)二元隱函數(shù).隱函數(shù)存在定理2設(shè)函數(shù)F(x,y