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《5.3多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、§5.3多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目的：通過講授，使學(xué)牛掌握多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)重點(diǎn)：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)教學(xué)難點(diǎn)：隱函數(shù)的求導(dǎo)課堂安排：復(fù)習(xí)1?偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)2?全微分-復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.定義設(shè)函數(shù)z=/(w,v),而況、v均為兀、y的函數(shù),即況=/心,y),v=v(x,y),則函數(shù)z=f[u(x,y),v(x,y)]叫做x、y的復(fù)合函數(shù)?其中u、v叫做中間變量，尢、y叫做自變量.2.定理如果函數(shù)u=w(x,y),v=v(x,y)在點(diǎn)(兀,y)處都具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=/(w,v)在對應(yīng)點(diǎn)(w,v)處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)
2、合函數(shù)z=f[u(x,y),v(xyy)]在點(diǎn)(兀,y)處存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，且具有下列公式dzdzdudzdv=1dxdudxdvdxdzdzdudzdv—=+dydudydvdy多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以敘述為：多元復(fù)合函數(shù)對某一自變量的偏導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對各個(gè)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)與這個(gè)中間變量對該自變量的偏導(dǎo)數(shù)的乘積之和?這一法則也稱為鎖鏈法則或鏈法則.注：一般地，無論復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系如何，因變量到達(dá)自變量有幾條路徑，就有幾項(xiàng)相加，而一條路徑中有幾個(gè)環(huán)節(jié)，這項(xiàng)就有幾個(gè)偏導(dǎo)數(shù)相乘.例1設(shè)z=sin(w+2v),u=ex+y,v=x2-y2,求賓，賓oxdy解因?yàn)榧?/p>
3、=cos(w+2v)；尖=2cos(w+2v)oudvx+y也=嚴(yán)，包=嚴(yán)』=2■也=2ydxdydxdy所以—=ex+ycos(u+2v)+4xcos(w+2v)=cos(^v+v+2x2一2y2ex+y+4x)dx—=ex+ycos(w+2v)+4ycos(w+2v)=cos(ev+v+2x2一2y2+4y)dyx+y3.半抽象復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)例2設(shè)z=f(u,v)的偏導(dǎo)數(shù)存在,又w=sinx,v=x2y3,求尖，尖.oxdy解因?yàn)椤?COSX,?=2小，，?=3/y2dxdxdyr-rnidzdzdudzdvdzdz3所以亍=——cosx+—2^-ox
4、dudxdvoxdudvdzdzdvdz22例3設(shè)z=f(u,v)可導(dǎo)，又u-ln(x2+1),v=cosx,求色.dx5dzdzdudzdvdz2xdz(.mv=二—:—H———=—；—-+—~vsinx)dxdudxdvdxdux2+1dv例4設(shè)z=/(x,u)的偏導(dǎo)數(shù)存在，又u=arctan—,y求主，主.dxdy翌=堂顯L也=『+必dxdxdudxAdux2+y2)'dzdzdudz-xII~~■I’■■Idydudydux1+y2通過上面的例題我們可以看到，在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)時(shí)，搞清楚變量之間的關(guān)系是關(guān)鍵.練習(xí)片83A14.復(fù)
5、合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍然為復(fù)合函數(shù)，所以求高階偏導(dǎo)時(shí)讓按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求得.例如函數(shù)z=/（W,v），It=W（x,y），v=v（x,y）,則￥=d^du_^_d^dvdxduoxdvox所以d2z（dzdudzdv^^3—dx2dudxdvdxJx立屯+蟲業(yè)仆.I1dudxdxdudx2dvdxdxdvdx2二隱函數(shù)求導(dǎo)公式1.定理設(shè)函數(shù)F(x,j,z)在點(diǎn)P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),F(兀o，yo，Zo)=O,F；(xo,yo,zo)^O則方程F(兀,y,z)=0在Oo，yo)的某鄰域內(nèi)恒能唯—確定一個(gè)單值連續(xù)且具
6、有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=/(%,y),它滿足方程F(x,y,z)=0及條件z0=f(x0,y0),其偏導(dǎo)數(shù)可由dFdFdz工dFdFdz——+二0和——+二0dxdzdxdydzdy即dFOF主—直和主"也dxOFdyOfdzdz來確定.2.這個(gè)公式可以推廣到一元隱函數(shù)和三元隱函數(shù)的求導(dǎo)屮去.由F(x,y)=0所確定的一-元隱函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)是字=-半(代工0)dxFy由F(x,y,z,u)=0所確定的三元隱函數(shù)u=f(x,y9z)的偏導(dǎo)數(shù)是如=_殳包=_匚如=_殳(FJ0)辦Fl(dyFudzFlt"例5求由方程siny+x2-y2=0所確定的隱函數(shù)丁=
7、/(兀)的導(dǎo)數(shù).解令F（x,y）=siny+x2-y2則Fx=2x,Fy=cosy-2y所以?—竺二__—dxFycosy-2y例6求由方程x2+2y2-z2+xyz=2所確定的隱函數(shù)z=/（x,y）的偏導(dǎo)數(shù)解令F（x,y,z）=x2+2y2-z2+xyz-2則Fx=2x+yz,Fy=4y+xz,Fz=xy-2z所以半dx2x+yz_2x+yzxy-2z2z-xyd2za?2x+yz'（2兀+yz）x（2z-xy）~（2x+yz）（2z-xy）x
8、
9、）2z—xy）（2兀+yz（2害—y（2z-xy）22x+yz2z-xy、-yyx(2z—對例7求由2x+y+z
10、=/(x+2z)所確定的隱函數(shù)z=/(
