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《多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§3復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一、多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(鏈?zhǔn)椒▌t)定理：鏈?zhǔn)椒▌t如圖示全導(dǎo)數(shù)解解解例3設(shè),而,求解解例5設(shè)解例6設(shè),而求解解例8設(shè)求例9已知證明：左==右得證證：解令記同理有于是例11證從而=x設(shè)z=f(u,v)可微,當(dāng)u,v為自變量時,有若u,v不是自變量,而是中間變量,是否仍有這一形式?設(shè)u=u(x,y),v=v(x,y)均可微,則z=f(u(x,y),v(x,y)),二、全微分的形式不變性由鏈?zhǔn)椒▌t,代入,z=f(u(x,y),v(x,y))即:不論u,v是自變量還是中間變量,z=f(u,v)的全微分的形式不變.解例14用全微分形
2、式不變性求解記u=xy,從而z=f(u,v).從而隱函數(shù)求導(dǎo)法方法:方程兩邊對x求導(dǎo).一元函數(shù)：F(x,y)=0注意：y是x的函數(shù)y=f(x),然后解出y'.(1)是否任何一個二元方程F(x,y)=0.都確定了y是x的函數(shù)(單值)?如x2+y2=1.什么條件下確定y=f(x)?(2)若方程確定y=f(x).它是否可導(dǎo)?給出一般的求導(dǎo)公式.(3)三元(以上)方程F(x,y,z)=0.的情形怎樣?問題:設(shè)函數(shù)F(x,y)在點X0=(x0,y0)的鄰域U(X0)內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).一、方程F(x,y)=0且F(x0,y0)=0,則方程F(x,y)=0在點X0
3、=(x0,y0)的某鄰域內(nèi)唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的(單值)函數(shù)y=f(x),它滿足y0=f(x0).且(隱函數(shù)存在定理)定理1隱函數(shù)的求導(dǎo)公式例1.方程x2+y2–1=0,當(dāng)x=0時,y=1.法1.x2+y2=1兩邊對x求導(dǎo),y是x的函數(shù)2x+2y?y'=0法2.F(x,y)=x2+y2–1解令則定理1 可推廣到方程中有多個變量的情形.二、方程F(x,y,z)=0設(shè)三元函數(shù)F(x,y,z)在X0=(x0,y0,z0)的鄰域U(X0)內(nèi)有連續(xù)編導(dǎo)，F(xiàn)(x0,y0,z0)=0,F'z(x0,y0,z0)?0,則在X0的某鄰域內(nèi)唯一確定一個有連續(xù)偏導(dǎo)的函
4、數(shù)z=f(x,y),滿足z0=f(x0,y0),且定理2例3.法1.記F(x,y,z)=sin(x?3z)?2y?z有F'x=cos(x?3z),故F'y=?2,F'z=?3cos(x?3z)?1法2：sin(x?3z)=2y+z兩邊對x求偏導(dǎo)，z是x的函數(shù)，y看作常數(shù).解得:類似得解令則例5設(shè)求令例6設(shè)求令例7設(shè)且f具有連續(xù)的一階法1確定偏導(dǎo)數(shù),求令例7設(shè)且f具有連續(xù)的一階法2確定偏導(dǎo)數(shù),求等式兩邊對x求偏導(dǎo)例7設(shè)且f具有連續(xù)的一階法3確定偏導(dǎo)數(shù),求利用一階全微分形式不變性思路：整理得解令則整理得整理得例9設(shè)方程F(x2+y2+z2,sinxy)
5、=0,F?C1,求方法1(公式法):方程左邊是x,y,z的復(fù)合函數(shù)用鏈?zhǔn)椒▌t求F'x,F'y,F'z.F'x=F'1?F'y=F'1?F'z=F'1?=2xF'1+ycosxyF'22x+F'2?cosxy?y=2yF'1+xcosxyF'22y+F'2?cosxy?x=2zF'12z+F'2?0方法2方程F(x2+y2+z2,sinxy)=0兩邊對x求偏導(dǎo). 其中z是x的函數(shù),y看作常量.=0解得:F'1?(2x+2z?z'x)+F'2cosxy?y例10設(shè)z=z(x,y)是由方程x+y+z=?(x2+y2+z2)所確 定的函數(shù),其中??C
6、1，證明z=z(x,y)滿足證記F(x,y,z)=x+y+z??(x2+y2+z2),u=x2+y2+z2,有F'x=1F'z=1?2z?'u=1?2x??'u??'u?2x?2y?'u,F'y=1故從而思路：解令則整理得整理得整理得1、鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情況）2、全微分形式不變性（特別要注意課中所講的特殊情況）（理解其實質(zhì)）小結(jié)（分以下幾種情況）隱函數(shù)的求導(dǎo)法則3、隱函數(shù)求偏導(dǎo)
