多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則(I)

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1、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則先回憶一下一元復(fù)合函數(shù)的微分法則則復(fù)合函數(shù)對x的導(dǎo)數(shù)為這一節(jié)我們將把這一求導(dǎo)法則推廣到多元函數(shù)的情形，主要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法。我們知道，求偏導(dǎo)數(shù)與求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上并沒有區(qū)別，對一元函數(shù)適用的微分法包括復(fù)合函數(shù)的微分法在內(nèi)，在多元函數(shù)微分法中仍然適用，那么為什么還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法呢？這主要是對于沒有具體給出式子的所謂抽象函數(shù)如它是由復(fù)合而成的由于f沒有具體給出一元復(fù)合函數(shù)的微分法則就無能為力了，為此還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法。一、鏈?zhǔn)椒▌t證上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.如以上公

2、式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：鏈?zhǔn)椒▌t如圖示稱為標(biāo)準(zhǔn)法則或這個(gè)公式的特征：⑴函數(shù)有兩個(gè)自變量x和y故法則中包含兩個(gè)公式；⑵由于在復(fù)合過程中有兩個(gè)中間變量u和v故法則中每一個(gè)公式都是兩項(xiàng)之和，這兩項(xiàng)分別含有⑶每一項(xiàng)的構(gòu)成與一元復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則類似，即“函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)”多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡言之即：“分道相加，連線相乘”特殊地其中即令兩者的區(qū)別區(qū)別類似注此公式可以推廣到任意多個(gè)中間變量和任意多個(gè)自變量的情形如則從以上推廣中我們可以得出：所有公式中兩兩乘積的項(xiàng)數(shù)等于中間變量的個(gè)數(shù)，而與自變量的個(gè)數(shù)無

3、關(guān)關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題這是一項(xiàng)基本技能，要求熟練掌握，尤其是求二階偏導(dǎo)數(shù)，既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。對求導(dǎo)公式不求強(qiáng)記，而要切實(shí)做到徹底理解。注意以下幾點(diǎn)將會(huì)有助于領(lǐng)會(huì)和理解公式，在解題時(shí)自如地運(yùn)用公式①用圖示法表示出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系②函數(shù)對某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)（項(xiàng)數(shù)及項(xiàng)的構(gòu)成）的結(jié)構(gòu)是求抽象的復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵③弄清仍是復(fù)合函數(shù)且復(fù)合結(jié)構(gòu)與原來的f(u,v)完全相同即仍是以u,v為中間變量，以x,y為自變量的復(fù)合函數(shù)因此求它們關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)必須使鏈?zhǔn)椒▌t在具體計(jì)算中最容易出錯(cuò)的地方是對再求偏導(dǎo)數(shù)這一步是與f(u,v)具有相同結(jié)構(gòu)的復(fù)合函數(shù)易被誤認(rèn)為僅是u的函數(shù)

4、，從而導(dǎo)致漏掉原因就是不注意④求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，一定要設(shè)中間變量⑤注意引用這些公式的條件外層函數(shù)可微（偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)）內(nèi)層函數(shù)可導(dǎo)⑥的合并問題視題設(shè)條件解解例3設(shè)均滿足復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的條件計(jì)算（兩重復(fù)合問題）解由鏈?zhǔn)椒▌t故同理可得解令記同理有于是二、全微分形式不變性全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)：無論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.利用全微分形式不變性，在逐步作微分運(yùn)算的過程中，不論變量間的關(guān)系如何錯(cuò)綜復(fù)雜，都可以不加辨認(rèn)和區(qū)分，而一律作為自變量來處理且作微分運(yùn)算的結(jié)果對自變量的微分來說是線性的從而為解題帶來很多方便，而且也不易出錯(cuò)例5設(shè)各函數(shù)滿足求導(dǎo)條件求

5、解一變量間的關(guān)系如下圖所示這里變量間的關(guān)系比較混亂用全微分來解由全微分定理注意到x,z是獨(dú)立自變量解二由全微分定義注解法二在實(shí)際計(jì)算中顯得十分靈便且不易出錯(cuò)故隱函數(shù)的求導(dǎo)法則一、一個(gè)方程的情形解令則解令則解令則思路：解令則整理得整理得整理得二、方程組的情形1、對于方程組怎樣求偏導(dǎo)數(shù)首先應(yīng)明確這個(gè)方程組確定了幾個(gè)幾元隱函數(shù)當(dāng)x給定以后相當(dāng)于解含關(guān)于y,z的方程組如果有解且唯一則對于不同的x就完全確定了y,z故方程組確定了兩個(gè)一元隱函數(shù)y=y(x),z=z(x)若則怎樣求兩邊對x求導(dǎo)注意左邊是復(fù)合函數(shù)（三個(gè)中間變量），同理2、解1直接代入公式；解2運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法，將所給方程的

6、兩邊對求導(dǎo)并移項(xiàng)將所給方程的兩邊對y求導(dǎo)，用同樣方法得注這組公式不太好記，具體做題時(shí)應(yīng)用的是其基本思想關(guān)于隱函數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù)以為例，主要有三種方法：①公式法類似地可求得②直接法方程兩邊連續(xù)求導(dǎo)兩次解得：兩種方法相比，法二較簡便，因?yàn)榭杀苊馍痰那髮?dǎo)運(yùn)算，尤其是在求指定點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，毋須解出一階偏導(dǎo)數(shù)而是將其具體數(shù)值代入即可求得二階偏導(dǎo)數(shù)，使運(yùn)算大為簡化。`則這樣一次就可求得全部的一階偏導(dǎo)數(shù)。③全微分法利用全微分形式不變性，在所給的方程兩邊直接求全微分