函數(shù)的最大值最小值問(wèn)題

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1、§4函數(shù)的最大值最小值問(wèn)題最值與極值的重要區(qū)別：極值是一點(diǎn)局部的形態(tài)；最值是某區(qū)間整體的形態(tài)。先討論必要性：是在內(nèi)的最大(小)值，必是在的極大(小)值點(diǎn)，是的穩(wěn)定點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)．穩(wěn)定點(diǎn)在的可能的最值點(diǎn)：不可導(dǎo)點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn)下面就兩種常見(jiàn)的情形給出判別法，以最大值為例說(shuō)明．1．閉區(qū)間情形設(shè)在連續(xù)，這時(shí)在必有最大值．則將所有穩(wěn)定點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較（如果可能的話），最大者即是最大值．2．開(kāi)區(qū)間情形設(shè)在可導(dǎo)，且在有最大值．若在內(nèi)有唯一的穩(wěn)定點(diǎn)，則是最大值點(diǎn)．注意強(qiáng)調(diào)最值的存在性例1一塊邊長(zhǎng)為a的正方形，在四個(gè)角上截去同樣大小的正方形，做

2、成無(wú)蓋的盒，問(wèn)截去多大的小方塊能使盒的容積最大？解設(shè)為截去的小方塊的邊長(zhǎng)，則盒的容積為。顯然，在可導(dǎo)，且令得或。因此在中有唯一的穩(wěn)定點(diǎn)。由實(shí)際問(wèn)題本身知在中必有最大值，故知最大值為。即截去的小的方塊邊長(zhǎng)為時(shí)，盒的容積最大。例2求函數(shù)在的最大值和最小值解，因此，故的穩(wěn)定點(diǎn)為，不可導(dǎo)為。比較所有可能的最值點(diǎn)的函數(shù)值：即得最大值為，最小值為。例3在正午時(shí)，甲船恰在乙船正南處，以速度向正東開(kāi)出；乙船也正以速度向正南開(kāi)去(圖5—15)．已知兩船航向不變，試證：下午二時(shí)，兩船相距最近．證明設(shè)小時(shí)后，兩船相距公里，則顯然有，求的最小值等價(jià)于求的最小值。令的

3、唯一穩(wěn)定點(diǎn)。比較和點(diǎn)的值：，，故時(shí)函數(shù)達(dá)到最小值，即下午二時(shí)，兩船相距最近．例4做一個(gè)圓柱形無(wú)蓋鐵桶，容積一定，設(shè)為．問(wèn)鐵桶的底半徑與高的比例應(yīng)為多少，才能最省鐵皮?解設(shè)鐵桶底半徑為，高為(見(jiàn)圖5—14)，則所需鐵皮面積為利用巳知條件，得．則面積可化為的函數(shù)于是問(wèn)題化為求函數(shù)在內(nèi)的最小值問(wèn)題．。令，得到唯一的穩(wěn)定點(diǎn)，又由實(shí)際問(wèn)題本身知在必有最小值，從而唯一的穩(wěn)定點(diǎn)必是最小值點(diǎn)，此時(shí)有，即當(dāng)?shù)装霃脚c高相等，均為時(shí)，最省鐵皮。例4根據(jù)物理學(xué)的費(fèi)馬原理，光線沿著所需時(shí)間為最少的路線傳播．今有Ⅰ,Ⅱ兩種介質(zhì)，以為分界線．光在介質(zhì)I與介質(zhì)Ⅱ中的傳播速度

4、分別為和。問(wèn)：光線由介質(zhì)I中的點(diǎn)A到介質(zhì)Ⅱ中的點(diǎn)B，應(yīng)走哪一條路線?解取分界線L所在直線為Ox軸．過(guò)A，B作L的垂線，設(shè)垂足為，，設(shè)，并選定為坐標(biāo)原點(diǎn)（圖5-16）。光線在同一介質(zhì)中的傳播途徑應(yīng)當(dāng)是直線。設(shè)想光線從點(diǎn)A到點(diǎn)B所走的路線通過(guò)L上的點(diǎn)M，M的坐標(biāo)為x。于是問(wèn)題化為，當(dāng)x取何值時(shí)，折線AMB才是光線所有的路線。光線從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B所需的時(shí)間為根據(jù)費(fèi)馬原理，我們要求的是上述函數(shù)的最小值．,因?yàn)楹銥檎?，所以在上?yán)格單調(diào)上升，從而方程至多有一個(gè)根，即函數(shù)至多有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)．又因?yàn)槭堑倪B續(xù)函數(shù)，且，，所以方程的根位于區(qū)間內(nèi)，記作．這就是函數(shù)的唯

5、一穩(wěn)定點(diǎn)．已知恒為正，因此，于是由極值第二充分條件，為函數(shù)的極小值．又，因而連續(xù)函數(shù)的最小值必在內(nèi)部達(dá)到．于是可以斷定，唯一的極小值就是最小值．這表明，當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)時(shí)，折線就是AMB光線所走的路線．上面的時(shí)淪只告訴我們：，并不知道的具體數(shù)值．求出的值比較困難，不過(guò)實(shí)際上并不需要，我們可以從幾何上作如下說(shuō)明：所滿足的方程可寫(xiě)為即或這就是說(shuō)，入射角與折線角的正弦之比等于光在兩介質(zhì)中的傳播速度之比，這是光學(xué)上的折射定律．上面的討論說(shuō)明，光在不同的兩種介質(zhì)中傳播時(shí)，遵守折射定律．