淺談數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的五點應(yīng)用

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1、淺談數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的五點應(yīng)用普寧市城東中學(xué)　杜金河數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中六種重要基本思想方法之一，是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征．華羅庚先生曾指出：“數(shù)與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛.數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”在解決數(shù)學(xué)問題時，將抽象的數(shù)學(xué)語言同直觀的圖形相結(jié)合，實現(xiàn)抽象的概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，使數(shù)與形的信息相互滲透，可以開拓我們的解題思路，使許多數(shù)學(xué)問題簡單化．?數(shù)與形是一對矛盾，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個方面，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用形式大體可分為代數(shù)問題的幾何解法與幾何問題的代數(shù)解法兩個方面，它滲透于中學(xué)教材之中，本文試從函數(shù)圖像和

2、幾何圖形兩個方面，結(jié)合中學(xué)教材的實際情況，舉例說明“以形助數(shù)”在解決問題中的一些妙用.?一、利用數(shù)形結(jié)合思想解決集合的問題．?1、利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題．?一般用圓來表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個集合沒有公共元素．利用韋恩圖法能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問題．如：?　　例1、有48名學(xué)生，每人至少參加一個活動小組，參加數(shù)理化小組的人數(shù)分別為28，25，15，同時參加數(shù)理小組的8人，同時參加數(shù)化小組的6人，同時參加理化小組的7人，問同時參加數(shù)理化小組的有多少人？?分析：我們可用圓A、B、C分別表示參加數(shù)理化

3、小組的人數(shù)（如圖），則三圓的公共部分正好表示同時參加數(shù)理化小組的人數(shù)．用n表示集合的元素，則有：??????????????????????????即：?∴，即同時參加數(shù)理化小組的有1人．?2、利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運算和集合的關(guān)系問題．如：?　　例2、已知集合?　?、湃?，求的范圍.⑵若，求的范圍．?????????????????????　　分析：先在數(shù)軸上表示出集合A的范圍，要使，由包含于的關(guān)系可知集合B應(yīng)該覆蓋集合A，從而有：，這時的值不可能存在．要使，當(dāng)a>0時集合A應(yīng)該覆蓋集合B，應(yīng)有成立．.??????????????????當(dāng)時，，顯然

4、成立.故時的取值范圍為：?二.利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程和不等式問題．?1.利用二次函數(shù)的圖像解決一元二次方程根的分布情況問題．?通過的相互轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)y=f(x)的圖象直觀解決問題．如：?例3、如果方程的兩個實根在方程的兩實根之間，試求與應(yīng)滿足的關(guān)系式．?分析：我們可聯(lián)想對應(yīng)的二次函數(shù)，的草圖．這兩個函數(shù)圖像都是開口向上，形狀相同且有?????????????????????公共對稱軸的拋物線(如圖)．要使方程的兩實根在方程的兩實根之間，則對應(yīng)的函數(shù)圖像與軸的交點應(yīng)在函數(shù)圖像與軸的交點之內(nèi)，它等價于拋物線的頂點縱坐標(biāo)不大于零且大于拋物線的頂點縱坐標(biāo)

5、．由配方方法可知與的頂點分別為：．故可求出與應(yīng)滿足的關(guān)系式為：．?2.利用二次函數(shù)的圖像求一元二次不等式的解集．?求一元二次不等式的解集時，只要聯(lián)想對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像，確定拋物線的開口方向和與軸的交點情況，便可直觀地看出所求不等式地解集．如??例4、解不等式．????分析：我們可先聯(lián)想對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像．從解得知該拋物線與軸交點橫坐標(biāo)為-2，3，當(dāng)取交點兩側(cè)的值時，即時，．即．故可得不等式的解集為：．????????????????????3.利用函數(shù)圖像解決方程的近似解或解的個數(shù)問題．?通過構(gòu)造函數(shù)，把求方程解的問題，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)?圖像的交點問

6、題.如：?例5、解方程?????????????????????　　分析：由方程兩邊的表達(dá)式我們可以聯(lián)想起函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖像，這兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)為方程的近似解，可以看出方程的近似解為．?例6、設(shè)方程，試討論取不同范圍的值時其不同解的個數(shù)的情況．?分析：我們可把這個問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)與圖像交點個數(shù)的情況，因函數(shù)表示平行于軸的所有直線，從圖像可以直觀看出：?????????????①當(dāng)時，與沒有交點，這時原方程無解;?②當(dāng)時，與有兩個交點，原方程有兩個不同的解;?③當(dāng)時，與有四個不同交點，原方程不同解的個數(shù)有四個；④當(dāng)時，與有三個交點，原

7、方程不同解的個數(shù)有三個；?⑤當(dāng)時與有兩個交點，原方程不同解的個數(shù)有三個．?4.利用三角函數(shù)的圖像解不等式．?通過構(gòu)造函數(shù)，把不等式問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的關(guān)系問題.如：?例7、解不等式?????????　　分析：從不等式的兩邊表達(dá)式我們可以看成兩個函數(shù).在上作出它們的圖像，得到四個不同的交點，橫坐標(biāo)分別為：，而當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時，的圖像都在的圖像上方．所以可得到原不等式的解集為：．?三、利用函數(shù)圖像比較函數(shù)值的大小．?　　一些數(shù)值大小的比較，我們可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值，利用它們圖像的直觀性進(jìn)行比較．如：?例8、試判斷三個數(shù)間的大小順序．?分析：這三個數(shù)我

8、們可以看成三個函數(shù)：在時，所對應(yīng)的函數(shù)值．在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個函數(shù)的圖像(如圖)，從圖像可以直觀地看出當(dāng)