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《高中數(shù)學(xué)第二章概率2.3隨機變量的數(shù)字特征2.3.2離散型隨機變量的方差課堂探究教案新人教b版選修2》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、2.3.2離散型隨機變量的方差課堂探究探究一求離散型隨機變量的方差解決求離散型隨機變量的方差問題，首先要理解隨機變量X的意義，寫出X可能取的全部值，其次求出X每個取值對應(yīng)的概率，列出分布列，然后由期望的定義求出E(X)，最后由方差計算公式求出D(X)．【典型例題1】某校從6名學(xué)生會干部(其中男生4人，女生2人)中選3人參加市中學(xué)生運動會志愿者．(1)所選3人中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及方差．(2)在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率．思路分析：(1)先求出ξ的分布列，再求期望，再利用方差公式求出方差．(2)利用條件概率或用古典概型概率公式求解．解
2、：(1)ξ的可能取值為0,1,2.由題意P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以ξ的分布列為ξ012PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1，D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.(2)設(shè)在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的事件為C，“男生甲被選中”包含的基本事件數(shù)為C＝10，“男生甲被選中，女生乙也被選中”包含的基本事件數(shù)為C＝4，所以P(C)＝＝＝.故在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為.探究二離散型隨機變量方差的性質(zhì)及運算1．簡化運算：當(dāng)求隨機變量ξ的期望與方差時，可首先分析ξ是否服從二項分布，如果服從，則
3、用公式求解，可大大減少運算量．2．性質(zhì)應(yīng)用：注意利用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b及D(aξ＋b)＝a2D(ξ)求期望與方差．【典型例題2】袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一個，ξ表示所取球的標(biāo)號．(1)求ξ的分布列、期望和方差．(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值．思路分析：(1)先求出ξ的分布列，再利用公式求出期望與方差．(2)通過ξ與η的線性關(guān)系表示出E(η)，D(η)，列方程組求解．解：(1)ξ的分布列為ξ01234P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3
4、×＋4×＝1.5，D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以當(dāng)a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；當(dāng)a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以或即為所求．探究三方差的實際應(yīng)用離散型隨機變量的期望反映了隨機變量取值的平均水平，而方差反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度，因此在實際決策問題中，通常需先計算期望，比較一下誰的平均水平高，然后再計算方差，分析一下誰
5、的穩(wěn)定性較好，因此在利用期望和方差的意義去分析解決實際問題時，兩者都要考慮．【典型例題3】有甲、乙兩個建材廠，都想投標(biāo)參加某重點建設(shè)，為了對重點建設(shè)負(fù)責(zé)，政府到兩個建材廠進行抽樣檢查，他們從中各取等量的樣品進行檢查，得到它們的抗拉強度指數(shù)如下：X110120125130135P0.10.20.40.10.2Y100115125130145P0.10.20.40.10.2其中X和Y分別表示甲、乙兩廠鋼筋的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，比較說明甲、乙兩廠的鋼筋哪一種穩(wěn)定性較好．思路分析：要比較兩種鋼筋的質(zhì)量，可先比較甲、乙兩種鋼筋的平均抗拉強度，即
6、期望，然后比較這兩種鋼筋質(zhì)量的穩(wěn)定性，即方差．解：E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D(X)＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，D(Y)＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×
7、0.2＝165.由E(X)＝E(Y)，可知甲、乙兩廠的鋼筋的平均抗拉強度是相等的，且平均抗拉強度都不低于120，但由于D(X)＜D(Y)，即乙廠的鋼筋的抗拉強度與其平均值偏差較大，故可認(rèn)為甲廠的鋼筋的質(zhì)量穩(wěn)定性較好．探究四易錯辨析易錯點：用錯公式而致誤【典型例題4】已知隨機變量X的概率分布如下表所示：X－101P求E(X)，D(X)，的值．錯解：E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝(x1－E(X))p1＋(x2－E(X))p2＋(x3－E(X))p3＝×＋×＋×＝0，所以＝0.錯因分析：錯誤的原因是在利用方差的定義求解時
8、，把(xi－E(X))2pi中(xi－E(X))2的
