第08章特征函數(shù)

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1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案第八章特征函數(shù)第一節(jié)特征函數(shù)一、復(fù)隨機(jī)變量1、定義：設(shè)與均為上的一維隨機(jī)變量,稱為上的復(fù)隨機(jī)變量.2、的數(shù)學(xué)期望:,若、均存在.3、相互獨(dú)立：設(shè)()獨(dú)立，稱()獨(dú)立.4、性質(zhì)：(1),其中為復(fù)常數(shù).證明：.(2).證明：.(3).證明：僅證離散型.設(shè),則精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案.(4),.證明：.(5)若獨(dú)立,則.證明：僅證明時成立即可.因獨(dú)立,則與獨(dú)立,從而與,與,與,與,均獨(dú)立.那么.(6)，必存在.證明：僅證連續(xù)型.因,，故與存在,從而存在.二、特征函數(shù)1、定義:設(shè)為上的一維隨機(jī)變量,,規(guī)定,稱為的特征函數(shù).精

2、彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案顯然：①.②若為離散型,則.③若為連續(xù)型,則.2、性質(zhì)：(1)；證明：.(2)；證明：.(3)在上一致連續(xù)；證明：,,其中：;由于,,(因為收斂)取,當(dāng)時,精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案.(4),為常數(shù)；證明：.(5)設(shè)()獨(dú)立,則.證明：僅證明時成立即可..(6),若存在.證明：因.所以.三、常見分布的特征函數(shù)1、離散型(1)退化分布：.證明：.(2)：,其中.精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案證明：.(3):.證明：,服從參數(shù)為的(0-1)分布,且獨(dú)立,,所以.(3):.證明：.2、連續(xù)型(1)：.特別：①：；②：.證明：(2

3、):.(3):.精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案證明：.(4)：.證明：.其中:.下面計算:,.,,精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案在上,,.第二節(jié)唯一性定理一、逆轉(zhuǎn)公式1、預(yù)備知識(1)設(shè)有函數(shù)，使得，，收斂,則在上一致收斂.于是有；又若在上連續(xù),則.華東師大《數(shù)學(xué)分析(下)》(2)狄里克萊積分:華東師大《數(shù)學(xué)分析(下)》，.精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案(3)設(shè)，,則2、逆轉(zhuǎn)公式：設(shè)的分布函數(shù)為,特征函數(shù)為,又是的連續(xù)點(diǎn)，則證明:不妨設(shè)，且,令，因為.又收斂,則又因為存在,故.所以精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案.二、唯一性定理1、唯一性定理:的分布函數(shù)由其特征函數(shù)

4、為唯一確定.證明:在的每一個連續(xù)點(diǎn)上，取也為的連續(xù)點(diǎn),于是有.因由其上連續(xù)點(diǎn)唯一確定，故由唯一確定.2、設(shè),且,則.證明:因,故連續(xù).,,有，又，且,于是.精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案注意為解析函數(shù),.三、分布函數(shù)的再生性1、，獨(dú)立,則:.證明：因，.由唯一性定理知,.2、，獨(dú)立,則:.證明：因，.由唯一性定理知,.3、,獨(dú)立,則:.證明：，,由唯一性定理知,.4、,獨(dú)立,則:.精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案證明：，,由唯一性定理知,.第三節(jié)維隨機(jī)變量的特征函數(shù)一、特征函數(shù)1、定義:設(shè)為上的維隨機(jī)變量,,規(guī)定,稱為的特征函數(shù).顯然：①若為離散

5、型,則.②若為連續(xù)型,則.注：2、性質(zhì)：(1)；證明：.(2)；證明：.(3)在上一致連續(xù)；證明：,,精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案.其中：,注：,,此式利用了許瓦茲不等式:.因，由判別式可得.為方便起見,以下引入記號：①，,.②，,特別記:,.例：,,.③,其中,.精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案特別記,為單位矩陣.例：,,.④,為的取有行的向量,,為的取有行和列的矩陣,例：,,,④,，但均為非負(fù)整數(shù).(4),為常量,為常矩陣.精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案證明：.注：(5)邊緣分布：,,特別，證明：.其中：(6),若存在,.說明：二、逆轉(zhuǎn)公式1、逆轉(zhuǎn)公

6、式：設(shè)的分布函數(shù)為,特征函數(shù)為,在體面上概率為0,則.2、唯一性定理:的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一確定..三、獨(dú)立性1、設(shè)()獨(dú)立,則.證明：僅證明時成立即可..精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案2、設(shè)為維隨機(jī)變量，則，獨(dú)立.證明:“”因為，獨(dú)立，從而,所以.“”因為,所以.故，獨(dú)立.第四節(jié)維正態(tài)分布矩陣回顧：(1)正定,記為;非負(fù)定,記為.(2),.(3)所有主子式存在,,使得存在,,使得.精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案(1)所有主子式存在,使得.(2).這時即的主子式.(3),則.(4)對稱合同于對角矩陣,即存在,,使得為對角矩陣.一、維正態(tài)分布

7、1、定義：設(shè),,為階正定矩陣，且,稱服從維正態(tài)分布，記作.2、驗算：驗算確實是維隨機(jī)變量的密度函數(shù).(1)顯然：,;(2)因，故存在,,使得，且.令,于是,這樣,而，有,那么,從而.于是.精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案3、特別,當(dāng)時,.二、特征函數(shù)1、的特征函數(shù)：.證明：，令,.由于,而,令，,有,所以.2、的特征函數(shù)：,因此也是正態(tài)分布.其中,，為二次型的矩陣,也是正定矩陣.特別:,.證明：.三、數(shù)字特征精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案1、設(shè),則.證明：因，從而,,所以.2、設(shè),則.因此有.預(yù)備工作：(1)設(shè)，為含自變量的可微函數(shù),定義:.(2

8、).證明：.(3)設(shè)，與無關(guān),則,.下面證明.證明：因,又,而，,,精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案，于是，從而,所以.四、獨(dú)立性設(shè),則獨(dú)立,,證明：“”顯然.“”因,,.所以獨(dú)立.五、線性變換1、,,,，則.證明：因,下面證明.因,，,故存在,,使得，且,于是.可見.2、,,服從一維正態(tài)分布.證明：