動(dòng)點(diǎn)最值問題的解題策略

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1、動(dòng)點(diǎn)最值問題的解題策略　　摘要：動(dòng)點(diǎn)最值問題是初中數(shù)學(xué)中一類綜合性很強(qiáng)的問題，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要組成部分，貫穿在整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，這類試題也是近幾年中考的熱點(diǎn)問題之一，它主要考查學(xué)生對平時(shí)所學(xué)的內(nèi)容綜合運(yùn)用，突出了對學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的考查。通過這類試題的教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，提高學(xué)生舉一反三的能力，對學(xué)生思維能力的提高有較大的幫助。　　關(guān)鍵詞：動(dòng)點(diǎn)最值解題策略　　【中圖分類號(hào)】G633.6　　解這類題目要盡可能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，把幾何圖形轉(zhuǎn)化成代數(shù)式

2、，或是結(jié)合動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)屬性，分析圖形特征，根據(jù)題目的條件寫出關(guān)系式，將動(dòng)態(tài)的幾何問題靜態(tài)化，抓住靜態(tài)的瞬間，將一般問題轉(zhuǎn)化成一些特殊的情況，從而找到動(dòng)、靜之間的關(guān)系來求解。本文試從以下幾個(gè)方面對這類問題作一些簡單的探討：.（1）出現(xiàn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)；（2）出現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)；（3）出現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)，這3中情況下的解題方法主要是通過軸對稱，將動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)中的其中一個(gè)，對稱到直線的另一側(cè)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在這個(gè)定點(diǎn)的對稱點(diǎn)及另一定點(diǎn)的線段上時(shí)，由"兩點(diǎn)之間線段最短"或者"垂線段最短"可知?jiǎng)狱c(diǎn)的位置及其最值情況。5　　

3、課后習(xí)題（引例）：如圖，已知AB是一條河，河的一邊有兩個(gè)村莊M和N，現(xiàn)要在河AB上修一個(gè)抽水站，同時(shí)向M和N這兩個(gè)村莊供水，為了節(jié)約供水的費(fèi)用，就要使所鋪的管道最短，請你找到AB上的點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離之和最短.　　解：過點(diǎn)M作AB的對稱點(diǎn)M'，連接M'N，即PM+PN?M'N　　要使得PM+PN最小，即P在M'N與AB的交點(diǎn)處　　總結(jié)：對稱共線法，如果不定的兩條線段之和由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)決定，我們可以用"軸對稱"的性質(zhì)將動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)中的其中一個(gè)，對稱到直線的另一側(cè)，將不共線的線段進(jìn)行等量轉(zhuǎn)移，在借助"

4、兩點(diǎn)之間的距離最短"找到特殊情況下的動(dòng)點(diǎn)P的位置，將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化成靜態(tài)的幾何問題，進(jìn)而求解?！　☆愋鸵唬阂粍?dòng)兩定型（兩個(gè)定點(diǎn)到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的距離和最小問題）　　變式1：從直線到三角形中　　例1：在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=900，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值為。　　解：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P，連結(jié)DP，PB由引例可知，點(diǎn)E即為DP與BC的交點(diǎn)，　　∵AC=BC=2，∠ACB=900，　　∴∠PCB=450即△CBP為等腰直角三角形　　∴BD==1，PB=2　　∴PD=　　變式2：

5、從三角形模型轉(zhuǎn)移到四邊形模型　　如圖：菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD的最小值是_______。5　　解法：　　變式3：從四邊形轉(zhuǎn)移到圓柱體中　　如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為________?！　≌`解：學(xué)生一看到這一個(gè)圓柱體問題，很容易產(chǎn)生一個(gè)定向思維：將圓柱體展開，找到展開圖中的對應(yīng)的點(diǎn)C，構(gòu)造RT△ADC，

6、利用勾股定理AC2=CD2+AD2，在利用已知的條件求出CD=9，AD=4，進(jìn)而求出AC=，但是這個(gè)問題到底出現(xiàn)在什么地方呢？我們在前面的練習(xí)中絕大多數(shù)情況下碰到的是螞蟻繞圓柱體的外壁從一點(diǎn)爬到這一點(diǎn)，此時(shí)考慮到柱體是一個(gè)曲面，利用轉(zhuǎn)化思想，將它轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)而求解，但是此時(shí)這個(gè)問題中這只螞蟻是從杯外繞著杯口爬到杯子的內(nèi)壁中去，不再是我們曾經(jīng)多次練習(xí)的外壁問題，此題已經(jīng)轉(zhuǎn)化成了在杯口在一個(gè)點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，從而變成我們熟悉的一動(dòng)兩定問題型?！　≌_的解：將圓柱體展開（如右圖），找到點(diǎn)C的位置，根據(jù)上述一動(dòng)

7、兩定型問題的基本模型解法，找到A的對應(yīng)點(diǎn)A'，此時(shí)PA'+PCCA'利用兩點(diǎn)之間線段最短確定點(diǎn)P的位置，在RT△A'DC中，求出CA'=15?！　》椒偨Y(jié)：一動(dòng)兩定型問題主要是由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)引起，將動(dòng)態(tài)問題通過軸對稱轉(zhuǎn)化成靜態(tài)下的幾何問題，運(yùn)用"勾股定理"找到最小值?！　☆愋投阂欢▋蓜?dòng)型（一個(gè)定點(diǎn)到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的距離最短問題）　　即兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上運(yùn)動(dòng)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別到一個(gè)定點(diǎn)和另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的距離最短問題5　　例2：△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，試在AB上找一點(diǎn)P，在BC上取一點(diǎn)M，使CP+PM的值最小為__

8、______?！　〗猓鹤鼽c(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C'，此時(shí)PC=PC'，CP+PM=MC'　　∵M(jìn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)即線段MC'仍在變化　　∴當(dāng)MC'⊥BC時(shí)，MC'最短　　即點(diǎn)P為MC'與線段AB的交點(diǎn)　　在RT△MCC'中，CC'=，∠C'CM=∠A，∠C'MC=∠ACB　　∴△MCC'∽△ACB　　∴∴MC'=　　變式一：從直角