動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題

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1、動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題最值分為幾何最值與代數(shù)最值，結(jié)合最值利用三角形三邊關(guān)系求解；代數(shù)最值利用函數(shù)性質(zhì)求解1、應(yīng)用幾何性質(zhì)①三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；②兩點(diǎn)間線段最短；③連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；④定圓中的所有弦中，直徑最長(zhǎng)⑤對(duì)稱的性質(zhì)——①關(guān)于一條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；②對(duì)稱軸是兩個(gè)對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；常見作圖模型例1、（2011廣西貴港2分）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP、G

2、P，則△BPG的周長(zhǎng)的最小值是．2、（2013年江蘇蘇州3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PC的最小值為（）第14頁(yè)共14頁(yè)A．B．C．D．23、如圖所示，已知，為反比yxOABP例函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段與線段之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.B.C.D.2、運(yùn)用代數(shù)證法：（此類問(wèn)題通常在壓軸大題中出現(xiàn)）①運(yùn)用配方法求二次三項(xiàng)式的最值；②運(yùn)用一元二次方程根的判別式。綜合例題1、例5（20

3、12?南寧）已知點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)B為直線x=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)B（﹣1，y）．（1）如圖1，若點(diǎn)C（x，0）且﹣1＜x＜3，BC⊥AC，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在（1）的條件下，y是否有最大值？若有，請(qǐng)求出最大值；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，1）時(shí)，在x軸上另取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=1．線段EF在x軸上平移，線段EF平移至何處時(shí)，四邊形ABEF的周長(zhǎng)最??？求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．第14頁(yè)共14頁(yè)思路分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，先證明△BCD≌△CAE，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可

4、求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）先運(yùn)用配方法將y=﹣x2+x+寫成頂點(diǎn)式，再根據(jù)自變量x的取值范圍即可求解；（3）欲使四邊形ABEF的周長(zhǎng)最小，由于線段AB與EF是定長(zhǎng)，所以只需BE+AF最?。疄榇耍却_定點(diǎn)E、F的位置：過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，并且在這條平行線上截取線段AA′，使AA′=1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，交x軸于點(diǎn)E，在x軸上截取線段EF=1，則點(diǎn)E、F的位置確定．再根據(jù)待定系數(shù)法求出直線A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥

5、x軸于點(diǎn)E．在△BCD與△CAE中，∵∠BCD=∠CAE=90°﹣∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°，∴△BCD∽△CAE，∴BD：CE=CD：AE，∵A（3，4），B（﹣1，y），C（x，0）且﹣1＜x＜3，∴y：（3﹣x）=（x+1）：4，∴y=﹣x2+x+（﹣1＜x＜3）；（2）y有最大值．理由如下：∵y=﹣x2+x+=﹣（x2﹣2x）+=﹣（x﹣1）2+1，又∵﹣1＜x＜3，∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值1；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，并且在這條平行線上截取線段AA′，使AA′=1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，

6、連接A′B′，交x軸于點(diǎn)E，在x軸上截取線段EF=1，則此時(shí)四邊形ABEF的周長(zhǎng)最?。逜（3，4），∴A′（2，4），∵B（﹣1，1），∴B′（﹣1，﹣1）．第14頁(yè)共14頁(yè)設(shè)直線A′B′的解析式為y=kx+b，則，解得．∴直線A′B′的解析式為y=x+，當(dāng)y=0時(shí)，x+=0，解得x=﹣．故線段EF平移至如圖2所示位置時(shí)，四邊形ABEF的周長(zhǎng)最小，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，0）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．（1）中通過(guò)作輔助線證明△BCD

7、∽△CAE是解題的關(guān)鍵，（3）中根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定點(diǎn)E、F的位置是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．第14頁(yè)共14頁(yè)2．（2012?孝感）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC面積的最大值和此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若P為拋物線在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AC交x軸于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為　

8、　時(shí)，四邊形PQAC是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　時(shí)，四邊形PQAC是等腰梯形（直接寫出結(jié)果，不寫求解過(guò)程）．8．解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)C（0，3）∴當(dāng)x=0時(shí)，c=3．又∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）∴，解得∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3又